حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 \sin (x) + 3 \cos (x)$

خطوة 1

اكتب $3 \sin (x) + 3 \cos (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 3 \sin (x) + 3 \cos (x)$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 \sin (x) + 3 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.1.1.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.1.1.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$3 \cos (x) + 3 (- \sin (x))$

خطوة 2.1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = 3 \cos (x) - 3 \sin (x)$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 \cos (x) - 3 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.2.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

خطوة 2.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.1.2.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x) - 3 \cos (x)$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 0$

خطوة 2.2.2

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{- 3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.2.3

افصِل الكسور.

$\frac{- 3}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.2.4

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{- 3}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- 3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.2.5

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$- 3 \tan (x) + \frac{- 3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 3 \tan (x) + \frac{- 3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.2.6.2

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$- 3 \tan (x) - 3 = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.2.7

افصِل الكسور.

$- 3 \tan (x) - 3 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 2.2.8

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$- 3 \tan (x) - 3 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 2.2.9

اقسِم $0$ على $1$ .

$- 3 \tan (x) - 3 = 0 \sec (x)$

خطوة 2.2.10

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$- 3 \tan (x) - 3 = 0$

خطوة 2.2.11

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$- 3 \tan (x) = 3$

خطوة 2.2.12

اقسِم كل حد في $- 3 \tan (x) = 3$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.12.1

اقسِم كل حد في $- 3 \tan (x) = 3$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 \tan (x)}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

خطوة 2.2.12.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.12.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.12.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 \tan (x)}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

خطوة 2.2.12.2.1.2

اقسِم $\tan (x)$ على $1$ .

$\tan (x) = \frac{3}{- 3}$

خطوة 2.2.12.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.12.3.1

اقسِم $3$ على $- 3$ .

$\tan (x) = - 1$

خطوة 2.2.13

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- 1)$

خطوة 2.2.14

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.14.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (- 1)$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

خطوة 2.2.15

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - \frac{π}{4} - π$

خطوة 2.2.16

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.16.1

أضف $2 π$ إلى $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

خطوة 2.2.16.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{4}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.2.17

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.17.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 2.2.17.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 2.2.17.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 2.2.17.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 2.2.18

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.18.1

اجمع $π$ مع $- \frac{π}{4}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{4} + π$

خطوة 2.2.18.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 2.2.18.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.18.3.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 2.2.18.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 2.2.18.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.18.4.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 2.2.18.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

خطوة 2.2.18.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.2.19

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = - 3 \sin (0) - 3 \cos (0)$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f'' (0) = - 3 \cdot 0 - 3 \cos (0)$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 3$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 - 3 \cos (0)$

خطوة 5.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f'' (0) = 0 - 3 \cdot 1$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f'' (0) = 0 - 3$

خطوة 5.2.2

اطرح $3$ من $0$ .

$f'' (0) = - 3$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, \infty)$ لأن $f'' (0)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 6