حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan^{-1} (9 x)}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan^{-1} (9 x)}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan^{-1} (9 x)}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $9$ في $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $t$ عن $9 x$ وافترض أن $t$ تقترب من $0$ بما أن $lim_{x \to 0} 9 x = 0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \tan^{-1} (t)}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $t$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اضرب $9$ في $0$ .

$\frac{0}{\tan^{-1} (0)}$

خطوة 1.3.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan^{-1} (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan^{-1} (9 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan^{-1} (9 x)]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan^{-1} (9 x)]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan^{-1} (9 x)]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan^{-1} (x)$ و $g (x) = 9 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $9 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [9 x]}$

خطوة 3.3.2

مشتق $\tan^{-1} (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]}$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(9 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $9$ من $9 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(9 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]}$

خطوة 3.5

طبّق قاعدة الضرب على $9 (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 9^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]}$

خطوة 3.6

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]}$

خطوة 3.7

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 81 x^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x])}$

خطوة 3.8

اجمع $9$ و $\frac{1}{1 + 81 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{9}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{9}{1 + 81 x^{2}} \cdot 1}$

خطوة 3.10

اضرب $\frac{9}{1 + 81 x^{2}}$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{9}{1 + 81 x^{2}}}$

خطوة 3.11

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{9}{81 x^{2} + 1}}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0} 1 \frac{81 x^{2} + 1}{9}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{81 x^{2} + 1}{9}$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{81 x^{2} + 1}{9}$

خطوة 5.2

انقُل الحد $\frac{1}{9}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} 81 x^{2} + 1$

خطوة 5.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{9} (lim_{x \to 0} 81 x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

خطوة 5.4

انقُل الحد $81$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{9} (81 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

خطوة 5.5

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{9} (81 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

خطوة 5.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{9} (81 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{9} (81 \cdot 0^{2} + 1)$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{9} (81 \cdot 0 + 1)$

خطوة 7.1.2

اضرب $81$ في $0$ .

$\frac{1}{9} (0 + 1)$

خطوة 7.2

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 1$

خطوة 7.3

اضرب $\frac{1}{9}$ في $1$ .

$\frac{1}{9}$