حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{t} + t^{2}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب لحذف الجذور من بسط الكسر.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{(\sqrt{t} + t^{2}) (\sqrt{t} - t^{2})}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

وسّع بسط الكسر باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{{\sqrt{t}}^{2} + \sqrt{t} (- t^{2}) + \sqrt{t} t^{2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{t}}^{2}$ بالصيغة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{1}{2} \cdot 2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.2.2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{2}{2}} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{2}{2}} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.2.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{1} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.2.2.1.5

بسّط.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.2.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t - 1 \cdot t^{4}}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.2.2.3

أعِد كتابة $- 1 t^{4}$ بالصيغة $- t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t - t^{4}}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.3

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $t$ في القاسم، وهي $t^{2} = \sqrt{t^{4}}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $t$ و $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t^{1}}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4.1.1.2

أخرِج العامل $t$ من $t^{1}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4.1.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1.3.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{2}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4.1.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4.1.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $t^{4}$ و $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.2.1

أخرِج العامل $t^{2}$ من $t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.2.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2} \cdot 1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2} \cdot 1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2}}{1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4.1.2.2.4

اقسِم $t^{2}$ على $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط كل حد.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $t$ و $t^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.3.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t^{1}}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4.3.2

أخرِج العامل $t$ من $t^{1}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4.3.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.3.3.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.4.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.5

عند اقتراب $t$ من $\infty$ ، يقترب الكسر $\frac{1}{t}$ من $0$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{0 - t^{2}}{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.6

عند اقتراب $t$ من $\infty$ ، يقترب الكسر $\frac{1}{t^{3}}$ من $0$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{0 - t^{2}}{\sqrt{0} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.2.7

بما أن بسط الكسر غير محدود بينما قاسمه يقترب من عدد ثابت، إذن الكسر $\frac{0 - t^{2}}{\sqrt{0} - 1}$ يقترب من ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد ترتيب $9 t$ و $- t^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{t \to \infty} - t^{2} + 9 t}$

خطوة 1.3.2

النهاية عند اللانهاية لمتعدد حدود معامله الرئيسي سالب تساوي قيمة غير متناهية سالبة.

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 1.3.3

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{- \infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t} + t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t} + t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{t} + t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\sqrt{t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

خطوة 3.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

خطوة 3.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

خطوة 3.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

خطوة 3.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

خطوة 3.3.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

خطوة 3.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

خطوة 3.5.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

خطوة 3.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 t - t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

خطوة 3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [9 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $9 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

خطوة 3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

خطوة 3.7.3

اضرب $9$ في $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

خطوة 3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 - \frac{d}{d t} [t^{2}]}$

خطوة 3.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 - (2 t)}$

خطوة 3.8.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 - 2 t}$

خطوة 3.9

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{- 2 t + 9}$

خطوة 4

أعِد كتابة $t^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

خطوة 5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لكتابة $2 t$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t \cdot \frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}} + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

خطوة 5.2

اجمع $2 t$ و $\frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 t (2 \sqrt{t})}{2 \sqrt{t}} + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

خطوة 5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 t (2 \sqrt{t}) + 1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$