حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

خطوة 1

اقسِم باستخدام قسمة متعددات الحدود المطولة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{4}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

خطوة 1.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$3 x$

$1$

خطوة 1.7

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$x^{2} + \frac{3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

خطوة 2

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

خطوة 2.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 2.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{3 x - 1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

خطوة 2.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{3 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$

خطوة 2.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

خطوة 2.5.2

اقسِم $3 x - 1$ على $1$ .

$3 x - 1 = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

خطوة 2.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 x - 1 = \frac{A {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

خطوة 2.6.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$3 x - 1 = A + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

خطوة 2.6.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(x - 1)}^{2}$ و $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $(B) {(x - 1)}^{2}$ .

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 2.6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1

اضرب في $1$ .

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

خطوة 2.6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

خطوة 2.6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 x - 1 = A + \frac{B (x - 1)}{1}$

خطوة 2.6.2.2.4

اقسِم $B (x - 1)$ على $1$ .

$3 x - 1 = A + B (x - 1)$

خطوة 2.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x - 1 = A + B x + B \cdot - 1$

خطوة 2.6.4

انقُل $- 1$ إلى يسار $B$ .

$3 x - 1 = A + B x - 1 \cdot B$

خطوة 2.6.5

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$3 x - 1 = A + B x - B$

خطوة 2.7

أعِد ترتيب $A$ و $B x$ .

$3 x - 1 = B x + A - B$

خطوة 3

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$3 = B$

خطوة 3.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$- 1 = A - 1 B$

خطوة 3.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$3 = B$

$- 1 = A - 1 B$

$3 = B$

$- 1 = A - 1 B$

خطوة 4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $B = 3$ .

$B = 3$

$- 1 = A - 1 B$

خطوة 4.2

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $3$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $- 1 = A - 1 B$ بـ $3$ .

$- 1 = A - 1 \cdot 3$

$B = 3$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $A$ في $- 1 = A - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A - 3 = - 1$ .

$A - 3 = - 1$

$B = 3$

خطوة 4.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $A$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$A = - 1 + 3$

$B = 3$

خطوة 4.3.2.2

أضف $- 1$ و $3$ .

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

خطوة 4.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$A = 2 B = 3$

خطوة 4.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = 2, B = 3$

خطوة 5

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $x^{2} + \frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$x^{2} + \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{3}{x - 1}$