حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln ({(20 x - 3)}^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = {(20 x - 3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(20 x - 3)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(20 x - 3)}^{2}]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(20 x - 3)}^{2}]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(20 x - 3)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(20 x - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [{(20 x - 3)}^{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 20 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $20 x - 3$ .

$\frac{1}{{(20 x - 3)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{{(20 x - 3)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $20 x - 3$ .

$\frac{1}{{(20 x - 3)}^{2}} (2 (20 x - 3) \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{{(20 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(20 x - 3)}^{2}} ((20 x - 3) \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $20 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2}{{(20 x - 3)}^{2}} ((20 x - 3) (\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

خطوة 1.3.3

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{{(20 x - 3)}^{2}} ((20 x - 3) (20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2}{{(20 x - 3)}^{2}} ((20 x - 3) (20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

خطوة 1.3.5

اضرب $20$ في $1$ .

$\frac{2}{{(20 x - 3)}^{2}} ((20 x - 3) (20 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

خطوة 1.3.6

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2}{{(20 x - 3)}^{2}} ((20 x - 3) (20 + 0))$

خطوة 1.3.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

أضف $20$ و $0$ .

$\frac{2}{{(20 x - 3)}^{2}} ((20 x - 3) \cdot 20)$

خطوة 1.3.7.2

انقُل $20$ إلى يسار $20 x - 3$ .

$\frac{2}{{(20 x - 3)}^{2}} (20 \cdot (20 x - 3))$

خطوة 1.3.7.3

اجمع $20$ و $\frac{2}{{(20 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{20 \cdot 2}{{(20 x - 3)}^{2}} (20 x - 3)$

خطوة 1.3.7.4

اضرب $20$ في $2$ .

$\frac{40}{{(20 x - 3)}^{2}} (20 x - 3)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{40}{{(20 x - 3)}^{2}} (20 x - 3)$ .

$(20 x - 3) \frac{40}{{(20 x - 3)}^{2}}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $20 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $20 x - 3$ من ${(20 x - 3)}^{2}$ .

$(20 x - 3) \frac{40}{(20 x - 3) (20 x - 3)}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$(20 x - 3) \frac{40}{(20 x - 3) (20 x - 3)}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{40}{20 x - 3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $40$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{40}{20 x - 3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $40 \frac{d}{d x} [\frac{1}{20 x - 3}]$ .

$40 \frac{d}{d x} [\frac{1}{20 x - 3}]$

خطوة 2.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{20 x - 3}$ بالصيغة ${(20 x - 3)}^{- 1}$ .

$40 \frac{d}{d x} [{(20 x - 3)}^{- 1}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = 20 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $20 x - 3$ .

$40 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$40 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $20 x - 3$ .

$40 (- {(20 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 1$ في $40$ .

$- 40 ({(20 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $20 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 40 {(20 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 2.3.3

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 40 {(20 x - 3)}^{- 2} (20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 40 {(20 x - 3)}^{- 2} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 2.3.5

اضرب $20$ في $1$ .

$- 40 {(20 x - 3)}^{- 2} (20 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 2.3.6

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 40 {(20 x - 3)}^{- 2} (20 + 0)$

خطوة 2.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أضف $20$ و $0$ .

$- 40 {(20 x - 3)}^{- 2} \cdot 20$

خطوة 2.3.7.2

اضرب $20$ في $- 40$ .

$- 800 {(20 x - 3)}^{- 2}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 800 \frac{1}{{(20 x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اجمع $- 800$ و $\frac{1}{{(20 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 800}{{(20 x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{800}{{(20 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بما أن $- 800$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{800}{{(20 x - 3)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 800 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 x - 3)}^{2}}]$ .

$- 800 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 x - 3)}^{2}}]$

خطوة 3.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(20 x - 3)}^{2}}$ بالصيغة ${({(20 x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 800 \frac{d}{d x} [{({(20 x - 3)}^{2})}^{- 1}]$

خطوة 3.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(20 x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 800 \frac{d}{d x} [{(20 x - 3)}^{2 \cdot - 1}]$

خطوة 3.1.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 800 \frac{d}{d x} [{(20 x - 3)}^{- 2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 2}$ و $g (x) = 20 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $20 x - 3$ .

$- 800 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$- 800 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $20 x - 3$ .

$- 800 (- 2 {(20 x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $- 2$ في $- 800$ .

$1600 ({(20 x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $20 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$1600 {(20 x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 3.3.3

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1600 {(20 x - 3)}^{- 3} (20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1600 {(20 x - 3)}^{- 3} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 3.3.5

اضرب $20$ في $1$ .

$1600 {(20 x - 3)}^{- 3} (20 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 3.3.6

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1600 {(20 x - 3)}^{- 3} (20 + 0)$

خطوة 3.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.7.1

أضف $20$ و $0$ .

$1600 {(20 x - 3)}^{- 3} \cdot 20$

خطوة 3.3.7.2

اضرب $20$ في $1600$ .

$32000 {(20 x - 3)}^{- 3}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$32000 \frac{1}{{(20 x - 3)}^{3}}$

خطوة 3.4.2

اجمع $32000$ و $\frac{1}{{(20 x - 3)}^{3}}$ .

$f''' (x) = \frac{32000}{{(20 x - 3)}^{3}}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بما أن $32000$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{32000}{{(20 x - 3)}^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $32000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 x - 3)}^{3}}]$ .

$32000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 x - 3)}^{3}}]$

خطوة 4.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(20 x - 3)}^{3}}$ بالصيغة ${({(20 x - 3)}^{3})}^{- 1}$ .

$32000 \frac{d}{d x} [{({(20 x - 3)}^{3})}^{- 1}]$

خطوة 4.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(20 x - 3)}^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32000 \frac{d}{d x} [{(20 x - 3)}^{3 \cdot - 1}]$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$32000 \frac{d}{d x} [{(20 x - 3)}^{- 3}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 3}$ و $g (x) = 20 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $20 x - 3$ .

$32000 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$32000 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $20 x - 3$ .

$32000 (- 3 {(20 x - 3)}^{- 4} \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 3$ في $32000$ .

$- 96000 ({(20 x - 3)}^{- 4} \frac{d}{d x} [20 x - 3])$

خطوة 4.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $20 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 96000 {(20 x - 3)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 4.3.3

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 96000 {(20 x - 3)}^{- 4} (20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 4.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 96000 {(20 x - 3)}^{- 4} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 4.3.5

اضرب $20$ في $1$ .

$- 96000 {(20 x - 3)}^{- 4} (20 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 4.3.6

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 96000 {(20 x - 3)}^{- 4} (20 + 0)$

خطوة 4.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

أضف $20$ و $0$ .

$- 96000 {(20 x - 3)}^{- 4} \cdot 20$

خطوة 4.3.7.2

اضرب $20$ في $- 96000$ .

$- 1920000 {(20 x - 3)}^{- 4}$

خطوة 4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1920000 \frac{1}{{(20 x - 3)}^{4}}$

خطوة 4.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

اجمع $- 1920000$ و $\frac{1}{{(20 x - 3)}^{4}}$ .

$\frac{- 1920000}{{(20 x - 3)}^{4}}$

خطوة 4.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{4} (x) = - \frac{1920000}{{(20 x - 3)}^{4}}$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1920000}{{(20 x - 3)}^{4}}$ .

$- \frac{1920000}{{(20 x - 3)}^{4}}$