حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 6 x^{2} - 6 \sin (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{2} - 6 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (2 x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (2 x)]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (2 x)]$

خطوة 1.2.3

اضرب $2$ في $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (2 x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$12 x - 6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$12 x - 6 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$12 x - 6 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$12 x - 6 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 6 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 x - 6 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 1.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$12 x - 6 (\cos (2 x) \cdot 2)$

خطوة 1.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$12 x - 6 (2 \cdot \cos (2 x))$

خطوة 1.3.7

اضرب $2$ في $- 6$ .

$f' (x) = 12 x - 12 \cos (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x - 12 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

خطوة 2.2.3

اضرب $12$ في $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$12 - 12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$12 - 12 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$12 - 12 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$12 - 12 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 - 12 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 - 12 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 2.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$12 - 12 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

خطوة 2.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$12 - 12 (- 2 \sin (2 x))$

خطوة 2.3.7

اضرب $- 2$ في $- 12$ .

$f'' (x) = 12 + 24 \sin (2 x)$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 + 24 \sin (2 x)$ .

$12 + 24 \sin (2 x)$