حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (5 + 4 x) e^{- 5 x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 5 + 4 x$ و $g (x) = e^{- 5 x}$ .

$(5 + 4 x) \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 5 x$ .

$(5 + 4 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(5 + 4 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 5 x$ .

$(5 + 4 x) (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 + 4 x) e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(5 + 4 x) e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

خطوة 1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اضرب $- 5$ في $1$ .

$(5 + 4 x) e^{- 5 x} \cdot - 5 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

خطوة 1.3.3.2

انقُل $- 5$ إلى يسار $(5 + 4 x) e^{- 5 x}$ .

$- 5 \cdot ((5 + 4 x) e^{- 5 x}) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

خطوة 1.3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 + 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 1.3.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 1.3.6

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.3.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (4 \cdot 1)$

خطوة 1.3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.9.1

اضرب $4$ في $1$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} \cdot 4$

خطوة 1.3.9.2

انقُل $4$ إلى يسار $e^{- 5 x}$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + 4 \cdot e^{- 5 x}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(- 5 \cdot 5 - 5 (4 x)) e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

خطوة 1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 5 \cdot 5 e^{- 5 x} - 5 (4 x) e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

خطوة 1.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اضرب $- 5$ في $5$ .

$- 25 e^{- 5 x} - 5 (4 x) e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

خطوة 1.4.3.2

اضرب $4$ في $- 5$ .

$- 25 e^{- 5 x} - 20 x e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

خطوة 1.4.3.3

أضف $- 25 e^{- 5 x}$ و $4 e^{- 5 x}$ .

$- 20 x e^{- 5 x} - 21 e^{- 5 x}$

خطوة 1.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 20 e^{- 5 x} x - 21 e^{- 5 x}$

خطوة 1.4.5

أعِد ترتيب العوامل في $- 20 e^{- 5 x} x - 21 e^{- 5 x}$ .

$f' (x) = - 20 x e^{- 5 x} - 21 e^{- 5 x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 20 x e^{- 5 x} - 21 e^{- 5 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 20 x e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 20 x e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 20 x e^{- 5 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 20 x e^{- 5 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 20 \frac{d}{d x} [x e^{- 5 x}]$ .

$- 20 \frac{d}{d x} [x e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{- 5 x}$ .

$- 20 (x \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- 5 x$ .

$- 20 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- 20 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- 5 x$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

خطوة 2.2.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + e^{- 5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

خطوة 2.2.7

اضرب $- 5$ في $1$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} \cdot - 5) + e^{- 5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

خطوة 2.2.8

انقُل $- 5$ إلى يسار $e^{- 5 x}$ .

$- 20 (x (- 5 \cdot e^{- 5 x}) + e^{- 5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

خطوة 2.2.9

اضرب $e^{- 5 x}$ في $1$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 21$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 21 e^{- 5 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 21 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- 5 x$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 5 x$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 5$ في $1$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

خطوة 2.3.6

انقُل $- 5$ إلى يسار $e^{- 5 x}$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

خطوة 2.3.7

اضرب $- 5$ في $- 21$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) + 105 e^{- 5 x}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x})) - 20 e^{- 5 x} + 105 e^{- 5 x}$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب $- 5$ في $- 20$ .

$100 (x (e^{- 5 x})) - 20 e^{- 5 x} + 105 e^{- 5 x}$

خطوة 2.4.2.2

أضف $- 20 e^{- 5 x}$ و $105 e^{- 5 x}$ .

$100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$100 e^{- 5 x} x + 85 e^{- 5 x}$

خطوة 2.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $100 e^{- 5 x} x + 85 e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = 100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$ .

$100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$