حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (u) = \frac{u}{u^{2} + 6}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ هو $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ حيث $f (u) = u$ و $g (u) = u^{2} + 6$ .

$\frac{(u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 6) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

اضرب $u^{2} + 6$ في $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u^{2} + 6$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6])}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u + \frac{d}{d u} [6])}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $u$ هو $0$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u + 0)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $2 u$ و $0$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u \cdot u}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 (u^{1} u)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.4

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 (u^{1} u^{1})}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u^{1 + 1}}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u^{2}}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.7

اطرح $2 u^{2}$ من $u^{2}$ .

$\frac{- u^{2} + 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u^{2}$ .

$\frac{- (u^{2}) + 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.8.2

أعِد كتابة $6$ بالصيغة $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (u^{2}) - 1 (- 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.8.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (u^{2}) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (u^{2} - 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.8.4

أعِد كتابة $- (u^{2} - 6)$ بالصيغة $- 1 (u^{2} - 6)$ .

$\frac{- 1 (u^{2} - 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 1.8.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (u) = - \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ هو $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ حيث $f (u) = - 1$ و $g (u) = \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d u} [\frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}] + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.2

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{({(u^{2} + 6)}^{2})}^{2}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب الأُسس في ${({(u^{2} + 6)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u^{2} - 6$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u + \frac{d}{d u} [- 6]) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $u$ هو $0$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u + 0) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أضف $2 u$ و $0$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.3.5.2

انقُل $2$ إلى يسار ${(u^{2} + 6)}^{2}$ .

$- \frac{2 \cdot {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ هو $f' (g (u)) g' (u)$ حيث $f (u) = u^{2}$ و $g (u) = u^{2} + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (2 u_{1} \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (2 (u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u^{2} + 6$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u + \frac{d}{d u} [6]))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.5.4

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $u$ هو $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u + 0))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.5.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

أضف $2 u$ و $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.5.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) (2 \cdot (u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.5.5.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

خطوة 2.5.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $u$ هو $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.5.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.1

اضرب $\frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$ في $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + 0$

خطوة 2.5.7.2

أضف $- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$ و $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.1

أعِد كتابة ${(u^{2} + 6)}^{2}$ بالصيغة $(u^{2} + 6) (u^{2} + 6)$ .

$- \frac{2 ((u^{2} + 6) (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.2

وسّع $(u^{2} + 6) (u^{2} + 6)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{2 (u^{2} (u^{2} + 6) + 6 (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{2 (u^{2} u^{2} + u^{2} \cdot 6 + 6 (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{2 (u^{2} u^{2} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.3.1.1

اضرب $u^{2}$ في $u^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.3.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2 (u^{2 + 2} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.3.1.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$- \frac{2 (u^{4} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.3.1.2

انقُل $6$ إلى يسار $u^{2}$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 6 \cdot u^{2} + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.3.1.3

اضرب $6$ في $6$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 6 u^{2} + 6 u^{2} + 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.3.2

أضف $6 u^{2}$ و $6 u^{2}$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 12 u^{2} + 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{(2 u^{4} + 2 (12 u^{2}) + 2 \cdot 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.5.1

اضرب $12$ في $2$ .

$- \frac{(2 u^{4} + 24 u^{2} + 2 \cdot 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.5.2

اضرب $2$ في $36$ .

$- \frac{(2 u^{4} + 24 u^{2} + 72) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{2 u^{4} u + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.7.1

اضرب $u^{4}$ في $u$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.7.1.1

انقُل $u$ .

$- \frac{2 (u \cdot u^{4}) + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.7.1.2

اضرب $u$ في $u^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.7.1.2.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2 (u^{1} u^{4}) + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.7.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2 u^{1 + 4} + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.7.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.7.2

اضرب $u^{2}$ في $u$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.7.2.1

انقُل $u$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 (u \cdot u^{2}) + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.7.2.2

اضرب $u$ في $u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.7.2.2.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 (u^{1} u^{2}) + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.7.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{1 + 2} + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.7.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.8

اضرب $- 4$ في $- 6$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.9

اضرب $u^{2}$ في $u$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.9.1

اضرب $u^{2}$ في $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.9.1.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2} u^{1} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.9.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2 + 1} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.9.2

أضف $2$ و $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.10

وسّع $(- 4 u^{2} + 24) (u^{3} + 6 u)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} (u^{3} + 6 u) + 24 (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} u^{3} - 4 u^{2} (6 u) + 24 (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.10.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} u^{3} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.11

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.11.1.1

اضرب $u^{2}$ في $u^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.11.1.1.1

انقُل $u^{3}$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 (u^{3} u^{2}) - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.11.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{3 + 2} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.11.1.1.3

أضف $3$ و $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.11.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{2} u + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.11.1.3

اضرب $u^{2}$ في $u$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.11.1.3.1

انقُل $u$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 (u \cdot u^{2}) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.11.1.3.2

اضرب $u$ في $u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.11.1.3.2.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 (u^{1} u^{2}) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.11.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{1 + 2} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.11.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{3} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.11.1.4

اضرب $- 4$ في $6$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 24 u^{3} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.11.1.5

اضرب $6$ في $24$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 24 u^{3} + 24 u^{3} + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.11.2

أضف $- 24 u^{3}$ و $24 u^{3}$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} + 0 + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.1.11.3

أضف $- 4 u^{5}$ و $0$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.2

اطرح $4 u^{5}$ من $2 u^{5}$ .

$- \frac{- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.3.3

أضف $72 u$ و $144 u$ .

$- \frac{- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

أخرِج العامل $2 u$ من $- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 216 u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1.1

أخرِج العامل $2 u$ من $- 2 u^{5}$ .

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 24 u^{3} + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.4.1.2

أخرِج العامل $2 u$ من $24 u^{3}$ .

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2}) + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.4.1.3

أخرِج العامل $2 u$ من $216 u$ .

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2}) + 2 u (108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.4.1.4

أخرِج العامل $2 u$ من $2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2})$ .

$- \frac{2 u (- u^{4} + 12 u^{2}) + 2 u (108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.4.1.5

أخرِج العامل $2 u$ من $2 u (- u^{4} + 12 u^{2}) + 2 u (108)$ .

$- \frac{2 u (- u^{4} + 12 u^{2} + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.4.2

أعِد كتابة $u^{4}$ بالصيغة ${(u^{2})}^{2}$ .

$- \frac{2 u (- {(u^{2})}^{2} + 12 u^{2} + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.4.3

لنفترض أن $u = u^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $u^{2}$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} + 12 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.4.4

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.4.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 108 = - 108$ ومجموعهما $b = 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.4.1.1

أخرِج العامل $12$ من $12 u$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} + 12 (u) + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.4.4.1.2

أعِد كتابة $12$ في صورة $- 6$ زائد $18$

$- \frac{2 u (- u^{2} + (- 6 + 18) u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.4.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{2 u (- u^{2} - 6 u + 18 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.4.4.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.4.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- \frac{2 u ((- u^{2} - 6 u) + 18 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.4.4.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- \frac{2 u (u (- u - 6) - 18 (- u - 6))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.4.4.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- u - 6$ .

$- \frac{2 u ((- u - 6) (u - 18))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.4.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $u^{2}$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} - 6) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.5

احذِف العامل المشترك لـ $- u^{2} - 6$ و ${(u^{2} + 6)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u^{2}$ .

$- \frac{2 u (- (u^{2}) - 6) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.5.2

أعِد كتابة $- 6$ بالصيغة $- 1 (6)$ .

$- \frac{2 u (- (u^{2}) - 1 (6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (u^{2}) - 1 (6)$ .

$- \frac{2 u (- (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.5.4

أعِد كتابة $- (u^{2} + 6)$ بالصيغة $- 1 (u^{2} + 6)$ .

$- \frac{2 u (- 1 (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.5.5

أخرِج العامل $u^{2} + 6$ من $2 u (- 1 (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)$ .

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

خطوة 2.6.5.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.6.1

أخرِج العامل $u^{2} + 6$ من ${(u^{2} + 6)}^{4}$ .

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{(u^{2} + 6) {(u^{2} + 6)}^{3}}$

خطوة 2.6.5.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{(u^{2} + 6) {(u^{2} + 6)}^{3}}$

خطوة 2.6.5.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

خطوة 2.6.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{- 2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

خطوة 2.6.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

خطوة 2.6.8

اضرب $- - \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.8.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

خطوة 2.6.8.2

اضرب $\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ في $1$ .

$f'' (u) = \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ .

$\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$