حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x + 3 \cos (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$1 + 3 (- \sin (x))$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = 1 - 3 \sin (x)$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 3 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

خطوة 1.2.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.2.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$0 - 3 \cos (x)$

خطوة 1.2.3

اطرح $3 \cos (x)$ من $0$ .

$f'' (x) = - 3 \cos (x)$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3 \cos (x)$ .

$- 3 \cos (x)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 3 \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 \cos (x) = 0$

خطوة 2.2

اقسِم كل حد في $- 3 \cos (x) = 0$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم كل حد في $- 3 \cos (x) = 0$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 \cos (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

خطوة 2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 3}$

خطوة 2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اقسِم $0$ على $- 3$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 2.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 2.6

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 2.6.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.9

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $\frac{π}{2}$ في $f (x) = x + 3 \cos (x)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) + 3 \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 3 \cdot 0$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

خطوة 3.1.2.2

أضف $\frac{π}{2}$ و $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{π}{2}$ في $f (x) = x + 3 \cos (x)$ هي $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{π}{2})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.47079632$ في العبارة.

$f'' (1.47079632) = - 3 \cos (1.47079632)$

خطوة 5.2

الإجابة النهائية هي $- 3 \cos (1.47079632)$ .

$- 3 \cos (1.47079632)$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $1.47079632$ يساوي $- 0.29950024$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \frac{π}{2})$

تناقص خلال $(- \infty, \frac{π}{2})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{π}{2}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.67079632$ في العبارة.

$f'' (1.67079632) = - 3 \cos (1.67079632)$

خطوة 6.2

الإجابة النهائية هي $- 3 \cos (1.67079632)$ .

$- 3 \cos (1.67079632)$

خطوة 6.3

في $1.67079632$ ، المشتق الثاني هو $0.29950024$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{π}{2}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{π}{2}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

خطوة 8