حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $2$ في $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$12 x + 6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$12 x + 6 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.1.3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$12 x + 6 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.1.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 1.1.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) \cdot 2)$

خطوة 1.1.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$12 x + 6 (2 \cdot \cos (2 x))$

خطوة 1.1.3.7

اضرب $2$ في $6$ .

$f' (x) = 12 x + 12 \cos (2 x)$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x + 12 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $12$ في $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$12 + 12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$12 + 12 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.2.3.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$12 + 12 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.2.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 1.2.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

خطوة 1.2.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$12 + 12 (- 2 \sin (2 x))$

خطوة 1.2.3.7

اضرب $- 2$ في $12$ .

$f'' (x) = 12 - 24 \sin (2 x)$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 - 24 \sin (2 x)$ .

$12 - 24 \sin (2 x)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $12 - 24 \sin (2 x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 - 24 \sin (2 x) = 0$

خطوة 2.2

اطرح $12$ من كلا المتعادلين.

$- 24 \sin (2 x) = - 12$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $- 24 \sin (2 x) = - 12$ على $- 24$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $- 24 \sin (2 x) = - 12$ على $- 24$ .

$\frac{- 24 \sin (2 x)}{- 24} = \frac{- 12}{- 24}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 24 \sin (2 x)}{- 24} = \frac{- 12}{- 24}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $\sin (2 x)$ على $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 12}{- 24}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $- 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أخرِج العامل $- 12$ من $- 12$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 12 (1)}{- 24}$

خطوة 2.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $- 12$ من $- 24$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 2}$

خطوة 2.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (2 x) = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 2}$

خطوة 2.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

خطوة 2.4

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 2.5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

خطوة 2.6

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{6}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{6}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

خطوة 2.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

خطوة 2.6.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

خطوة 2.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 2.6.3.2

اضرب $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.2.1

اضرب $\frac{π}{6}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

خطوة 2.6.3.2.2

اضرب $6$ في $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

خطوة 2.7

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

خطوة 2.8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 2.8.1.2

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 2.8.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 2.8.1.4

اطرح $π$ من $π \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.4.1

أعِد ترتيب $π$ و $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

خطوة 2.8.1.4.2

اطرح $π$ من $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

خطوة 2.8.2

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

خطوة 2.8.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

خطوة 2.8.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

خطوة 2.8.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 2.8.2.3.2

اضرب $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.3.2.1

اضرب $\frac{5 π}{6}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

خطوة 2.8.2.3.2.2

اضرب $6$ في $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

خطوة 2.9

أوجِد فترة $\sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.9.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 2.9.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 2.9.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 2.9.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 2.10

فترة دالة $\sin (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $\frac{π}{12}$ في $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{12}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{12}) = 6 {(\frac{π}{12})}^{2} + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{π}{12}$ .

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

خطوة 3.1.2.1.2

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{144}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

خطوة 3.1.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.3.1

أخرِج العامل $6$ من $144$ .

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{6 (24)}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

خطوة 3.1.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{6 \cdot 24}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

خطوة 3.1.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

خطوة 3.1.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{π}{2 (6)}))$

خطوة 3.1.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}))$

خطوة 3.1.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (\frac{π}{6})$

خطوة 3.1.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 (\frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 2 (3) (\frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2}))$

خطوة 3.1.2.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 3$

خطوة 3.1.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{π^{2}}{24} + 3$ .

$\frac{π^{2}}{24} + 3$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{π}{12}$ في $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ هي $(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $\frac{5 π}{12}$ في $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{12}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 {(\frac{5 π}{12})}^{2} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5 π}{12}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{{(5 π)}^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

خطوة 3.3.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{5^{2} π^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

خطوة 3.3.2.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{144}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

خطوة 3.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1

أخرِج العامل $6$ من $144$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{6 (24)}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

خطوة 3.3.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{6 \cdot 24}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

خطوة 3.3.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

خطوة 3.3.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (6)}))$

خطوة 3.3.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}))$

خطوة 3.3.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (\frac{5 π}{6})$

خطوة 3.3.2.1.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (\frac{π}{6})$

خطوة 3.3.2.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 (\frac{1}{2})$

خطوة 3.3.2.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.8.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 2 (3) (\frac{1}{2})$

خطوة 3.3.2.1.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2}))$

خطوة 3.3.2.1.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 3$

خطوة 3.3.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{25 π^{2}}{24} + 3$ .

$\frac{25 π^{2}}{24} + 3$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{5 π}{12}$ في $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ هي $(\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3), (\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \frac{π}{12}) \cup (\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}) \cup (\frac{5 π}{12}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{π}{12})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.16179938$ في العبارة.

$f'' (0.16179938) = 12 - 24 \sin (2 (0.16179938))$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $2$ في $0.16179938$ .

$f'' (0.16179938) = 12 - 24 \sin (0.32359877)$

خطوة 5.2.2

الإجابة النهائية هي $12 - 24 \sin (0.32359877)$ .

$12 - 24 \sin (0.32359877)$

خطوة 5.3

في $0.16179938$ ، المشتق الثاني هو $4.36846556$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, \frac{π}{12})$ .

تزايد خلال $(- \infty, \frac{π}{12})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.78539816$ في العبارة.

$f'' (0.78539816) = 12 - 24 \sin (2 (0.78539816))$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $0.78539816$ .

$f'' (0.78539816) = 12 - 24 \sin (1.57079632)$

خطوة 6.2.2

الإجابة النهائية هي $12 - 24 \sin (1.57079632)$ .

$12 - 24 \sin (1.57079632)$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $0.78539816$ يساوي $- 12$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$

تناقص خلال $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{5 π}{12}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.40899693$ في العبارة.

$f'' (1.40899693) = 12 - 24 \sin (2 (1.40899693))$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $2$ في $1.40899693$ .

$f'' (1.40899693) = 12 - 24 \sin (2.81799387)$

خطوة 7.2.2

الإجابة النهائية هي $12 - 24 \sin (2.81799387)$ .

$12 - 24 \sin (2.81799387)$

خطوة 7.3

في $1.40899693$ ، المشتق الثاني هو $4.36846556$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{5 π}{12}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{5 π}{12}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3), (\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$ .

$(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3), (\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$

خطوة 9