حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 1 - 9 x^{2}$ , $y = 0$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = - 9 x^{2} + 1$

خطوة 2

بسّط الدالة التكاملية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(- 9 x^{2} + 1)}^{2}$ بالصيغة $(- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$ .

$V = (- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$

خطوة 2.2

وسّع $(- 9 x^{2} + 1) (- 9 x^{2} + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2} + 1) + 1 (- 9 x^{2} + 1)$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2} + 1)$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - 9 x^{2} (- 9 x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2} x^{2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$V = - 9 \cdot (- 9 (x^{2} x^{2})) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{2 + 2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$V = - 9 \cdot (- 9 x^{4}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.3

اضرب $- 9$ في $- 9$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $- 9$ في $1$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} + 1 (- 9 x^{2}) + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $- 9 x^{2}$ في $1$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.6

اضرب $1$ في $1$ .

$V = 81 x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 1$

خطوة 2.3.2

اطرح $9 x^{2}$ من $- 9 x^{2}$ .

$V = 81 x^{4} - 18 x^{2} + 1$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} 81 x^{4} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

خطوة 4

بما أن $81$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $81$ خارج التكامل.

$V = π (81 \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} x^{4} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} - 18 x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

خطوة 7

بما أن $- 18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 18$ خارج التكامل.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} x^{2} d x + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + \int_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}} d x)$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$V = π (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

خطوة 11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة $\frac{x^{5}}{5}$ في $0.\overline{3}$ وفي $- 0.\overline{3}$ .

$V = π (81 ((\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5}) - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $0.\overline{3}$ وفي $- 0.\overline{3}$ .

$V = π (81 (\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + x]_{- 0.\overline{3}}^{0.\overline{3}})$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $x$ في $0.\overline{3}$ وفي $- 0.\overline{3}$ .

$V = π (81 (\frac{{0.\overline{3}}^{5}}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

ارفع $0.\overline{3}$ إلى القوة $5$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{5}}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.2

ارفع $- 0.\overline{3}$ إلى القوة $5$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} - \frac{- 0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + \frac{0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + 1 (\frac{0.00411522}{5})) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.5

اضرب $\frac{0.00411522}{5}$ في $1$ .

$V = π (81 (\frac{0.00411522}{5} + \frac{0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (81 (\frac{0.00411522 + 0.00411522}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.7

أضف $0.00411522$ و $0.00411522$ .

$V = π (81 (\frac{0.00823045}{5}) - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.8

اجمع $81$ و $\frac{0.00823045}{5}$ .

$V = π (\frac{81 \cdot 0.00823045}{5} - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.9

اضرب $81$ في $0.00823045$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{{0.\overline{3}}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.10

ارفع $0.\overline{3}$ إلى القوة $3$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} - \frac{{(- 0.\overline{3})}^{3}}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.11

ارفع $- 0.\overline{3}$ إلى القوة $3$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} - \frac{- 0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + \frac{0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.13

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + 1 (\frac{0.03703703}{3})) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.14

اضرب $\frac{0.03703703}{3}$ في $1$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.03703703}{3} + \frac{0.03703703}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 \frac{0.03703703 + 0.03703703}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.16

أضف $0.03703703$ و $0.03703703$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - 18 (\frac{0.07407407}{3}) + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.17

اجمع $- 18$ و $\frac{0.07407407}{3}$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} + \frac{- 18 \cdot 0.07407407}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.18

اضرب $- 18$ في $0.07407407$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} + \frac{- 1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.19

انقُل السالب أمام الكسر.

$V = π (\frac{0.66666666}{5} - \frac{1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.20

لكتابة $\frac{0.66666666}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1.33333333}{3} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.21

لكتابة $- \frac{1.33333333}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{0.66666666}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.22

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.22.1

اضرب $\frac{0.66666666}{5}$ في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.22.2

اضرب $5$ في $3$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333}{3} \cdot \frac{5}{5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.22.3

اضرب $\frac{1.33333333}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.22.4

اضرب $3$ في $5$ .

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3}{15} - \frac{1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.23

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{0.66666666 \cdot 3 - 1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.24

اضرب $0.66666666$ في $3$ .

$V = π (\frac{2 - 1.33333333 \cdot 5}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.25

اضرب $- 1.33333333$ في $5$ .

$V = π (\frac{2 - 6.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.26

اطرح $6.66666666$ من $2$ .

$V = π (\frac{- 4.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.27

انقُل السالب أمام الكسر.

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{3} + 0.\overline{3})$

خطوة 11.4.28

أضف $0.\overline{3}$ و $0.\overline{3}$ .

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{6})$

خطوة 11.4.29

لكتابة $0.\overline{6}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{15}{15}$ .

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + 0.\overline{6} \cdot \frac{15}{15})$

خطوة 11.4.30

اجمع $0.\overline{6}$ و $\frac{15}{15}$ .

$V = π (- \frac{4.66666666}{15} + \frac{0.\overline{6} \cdot 15}{15})$

خطوة 11.4.31

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{- 4.66666666 + 0.\overline{6} \cdot 15}{15})$

خطوة 11.4.32

اضرب $0.\overline{6}$ في $15$ .

$V = π (\frac{- 4.66666666 + 10}{15})$

خطوة 11.4.33

أضف $- 4.66666666$ و $10$ .

$V = π (\frac{5.33333333}{15})$

خطوة 11.4.34

اجمع $π$ و $\frac{5.33333333}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 5.33333333}{15}$

خطوة 11.4.35

اضرب $π$ في $5.33333333$ .

$V = \frac{16.75516081}{15}$

خطوة 12

اقسِم $16.75516081$ على $15$ .

$V = 1.11701072$

خطوة 13