حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (4 y) = x$ , $(0, \frac{π}{8})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = \frac{π}{8}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\cos (4 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 1.2.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 y$ .

$- \sin (4 y) \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (4 y) (4 \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 \sin (4 y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- 4 \sin (4 y) y'$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 4 \sin (4 y) y' = 1$

خطوة 1.5

اقسِم كل حد في $- 4 \sin (4 y) y' = 1$ على $- 4 \sin (4 y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اقسِم كل حد في $- 4 \sin (4 y) y' = 1$ على $- 4 \sin (4 y)$ .

$\frac{- 4 \sin (4 y) y'}{- 4 \sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

خطوة 1.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 \sin (4 y) y'}{- 4 \sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

خطوة 1.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sin (4 y) y'}{\sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (4 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (4 y) y'}{\sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

خطوة 1.5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

خطوة 1.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

افصِل الكسور.

$y' = \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{\sin (4 y)}$

خطوة 1.5.3.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (4 y)}$ إلى $\csc (4 y)$ .

$y' = \frac{1}{- 4} \csc (4 y)$

خطوة 1.5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{1}{4} \csc (4 y)$

خطوة 1.5.3.4

اجمع $\csc (4 y)$ و $\frac{1}{4}$ .

$y' = - \frac{\csc (4 y)}{4}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (4 y)}{4}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = \frac{π}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$- \frac{\csc (4 y)}{4}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $\frac{π}{8}$ في العبارة.

$- \frac{\csc (4 (\frac{π}{8}))}{4}$

خطوة 1.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$- \frac{\csc (4 \frac{π}{4 (2)})}{4}$

خطوة 1.7.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2})}{4}$

خطوة 1.7.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\csc (\frac{π}{2})}{4}$

خطوة 1.7.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- \frac{1}{4}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{1}{4}$ ونقطة مُعطاة $(0, \frac{π}{8})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{8}) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{π}{8} = - \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أضف $x$ و $0$ .

$y - \frac{π}{8} = - \frac{1}{4} \cdot x$

خطوة 2.3.1.2

اجمع $x$ و $\frac{1}{4}$ .

$y - \frac{π}{8} = - \frac{x}{4}$

خطوة 2.3.2

أضف $\frac{π}{8}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{π}{8}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{π}{8}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{π}{8}$

خطوة 3