حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$| 2 x - 1 |$

خطوة 1

اكتب $| 2 x - 1 |$ في صورة دالة.

$f (x) = | 2 x - 1 |$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int | 2 x - 1 | d x$

خطوة 4

عيّن قيمة المتغير المستقل في القيمة المطلقة بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم التي يمكن تقسيم الحل إليها.

$2 x - 1 = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

$x = \frac{1}{2}$

خطوة 6

أنشئ فترات حول الحلول لإيجاد المواضع التي تكون فيها $2 x - 1$ موجبة وسالبة.

$(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, \infty)$

خطوة 7

عوّض بقيمة من كل فترة في $2 x - 1$ لمعرفة الموضع الذي تكون فيه العبارة موجبة أو سالبة.

$\begin{array}{c} الفترة & العلامة في الفترة \\ (- \infty, \frac{1}{2}) & - \\ (\frac{1}{2}, \infty) & + \end{array}$

خطوة 8

أوجِد تكامل المتغير المستقل للقيمة المطلقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن التكامل بالمتغير المستقل للقيمة المطلقة.

$\int 2 x - 1 d x$

خطوة 8.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 x d x + \int - 1 d x$

خطوة 8.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int x d x + \int - 1 d x$

خطوة 8.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

خطوة 8.5

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

خطوة 8.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

خطوة 8.7

بسّط.

$x^{2} - x + C$

خطوة 9

في الفترات التي يكون فيها المتغير المستقل سالبًا، اضرب حل التكامل في $- 1$ .

${\begin{cases} - (x^{2} - x + C) & x \leq \frac{1}{2} \\ x^{2} - x + C & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = | 2 x - 1 |$ .

$F (x) =$ ${\begin{cases} - (x^{2} - x + C) & x \leq \frac{1}{2} \\ x^{2} - x + C & x > \frac{1}{2} \end{cases}$