حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\tan^{3} (θ)$

خطوة 1

اكتب $\tan^{3} (θ)$ في صورة دالة.

$f (θ) = \tan^{3} (θ)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (θ)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (θ) = \int \tan^{3} (θ) d θ$

خطوة 4

أخرِج عامل $\tan^{2} (θ)$ .

$\int \tan^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

خطوة 5

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (θ)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (θ)) \tan (θ) d θ$

خطوة 6

طبّق خاصية التوزيع.

$\int - 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 1 \tan (θ) d θ + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \tan (θ) d θ + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

خطوة 9

تكامل $\tan (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

خطوة 10

لنفترض أن $u = \sec (θ)$ . إذن $d u = \sec (θ) \tan (θ) d θ$ ، لذا $\frac{1}{\sec (θ) \tan (θ)} d u = d θ$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = \sec (θ)$ . أوجِد $\frac{d u}{d θ}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

خطوة 10.1.2

مشتق $\sec (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ)$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \int u d u$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 12

بسّط.

$- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (θ)$ .

$- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (θ) = \tan^{3} (θ)$ .

$F (θ) =$ $- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) + C$