حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 4.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.3

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 4.4

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 4.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 4.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . إذن $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ، لذا $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 5.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 5.1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 5.1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 5.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 5.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 5.1.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 5.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 5.1.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 5.1.10

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

خطوة 6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\int - 2 e^{u} d u$

خطوة 7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$- 2 \int e^{u} d u$

خطوة 8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- 2 (e^{u} + C)$

خطوة 9

بسّط.

$- 2 e^{u} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 e^{- x^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- x^{\frac{1}{2}}} + C$