حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x e^{- x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $3 x e^{- x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = 3 x e^{- x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 3 x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 5.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 5.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

خطوة 5.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

خطوة 5.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$3 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 6

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$3 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

$3 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $u_{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

خطوة 8.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 \frac{u_{2}}{2} + C$

خطوة 8.2.3

اجمع $- 3$ و $\frac{u_{2}}{2}$ .

$\frac{- 3 u_{2}}{2} + C$

خطوة 8.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 u_{2}}{2} + C$

خطوة 8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{- x^{2}}$ .

$- \frac{3 e^{- x^{2}}}{2} + C$

خطوة 8.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{3}{2} e^{- x^{2}} + C$

خطوة 9

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 3 x e^{- x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{3}{2} e^{- x^{2}} + C$