حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (t) = 6 t \ln (t)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $6 t \ln (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $6 \frac{d}{d t} [t \ln (t)]$ .

$6 \frac{d}{d t} [t \ln (t)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = \ln (t)$ .

$6 (t \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 1.1.3

مشتق $\ln (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{t}$ .

$6 (t \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اجمع $t$ و $\frac{1}{t}$ .

$6 (\frac{t}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 1.1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 (\frac{t}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 1.1.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$6 (1 + \ln (t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 1.1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 (1 + \ln (t) \cdot 1)$

خطوة 1.1.4.4

اضرب $\ln (t)$ في $1$ .

$6 (1 + \ln (t))$

خطوة 1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 \cdot 1 + 6 \ln (t)$

خطوة 1.1.5.2

اضرب $6$ في $1$ .

$6 + 6 \ln (t)$

خطوة 1.1.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (t) = 6 \ln (t) + 6$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $g (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $6 \ln (t) + 6$ .

$6 \ln (t) + 6$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $6 \ln (t) + 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 \ln (t) + 6 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$6 \ln (t) = - 6$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $6 \ln (t) = - 6$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $6 \ln (t) = - 6$ على $6$ .

$\frac{6 \ln (t)}{6} = \frac{- 6}{6}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 \ln (t)}{6} = \frac{- 6}{6}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $\ln (t)$ على $1$ .

$\ln (t) = \frac{- 6}{6}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $- 6$ على $6$ .

$\ln (t) = - 1$

خطوة 2.4

لإيجاد قيمة $t$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (t)} = e^{- 1}$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $\ln (t) = - 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = t$

خطوة 2.6

أوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $t = e^{- 1}$ .

$t = e^{- 1}$

خطوة 2.6.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t = \frac{1}{e}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (t)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$t \leq 0$

خطوة 3.2

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 4

احسِب قيمة $6 t \ln (t)$ عند كل قيمة $t$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $t = \frac{1}{e}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $\frac{1}{e}$ .

$6 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{e}$ .

$\frac{6}{e} \ln (\frac{1}{e})$

خطوة 4.1.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{e}$ بالصيغة $1 e^{- 1}$ .

$\frac{6}{e} \ln (1 e^{- 1})$

خطوة 4.1.2.3

أعِد كتابة $\ln (1 e^{- 1})$ بالصيغة $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\frac{6}{e} (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

خطوة 4.1.2.4

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $- 1$ خارج الأُس.

$\frac{6}{e} (\ln (1) - \ln (e))$

خطوة 4.1.2.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\frac{6}{e} (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

خطوة 4.1.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{6}{e} (\ln (1) - 1)$

خطوة 4.1.2.7

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{6}{e} (0 - 1)$

خطوة 4.1.2.8

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{6}{e} \cdot - 1$

خطوة 4.1.2.9

اضرب $\frac{6}{e} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.9.1

اجمع $\frac{6}{e}$ و $- 1$ .

$\frac{6 \cdot - 1}{e}$

خطوة 4.1.2.9.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{- 6}{e}$

خطوة 4.1.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{6}{e}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $t = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $0$ .

$6 (0) \ln (0)$

خطوة 4.2.2

اللوغاريتم الطبيعي للصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(\frac{1}{e}, - \frac{6}{e})$

خطوة 5