حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = | 3 x - 4 |$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = | x |$ و $g (x) = 3 x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

خطوة 1.1.1.2

مشتق $| u |$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

خطوة 1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x - 4$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 + 0)$

خطوة 1.1.2.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} \cdot 3$

خطوة 1.1.2.6.2

اجمع $\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |}$ و $3$ .

$\frac{(3 x - 4) \cdot 3}{| 3 x - 4 |}$

خطوة 1.1.2.6.3

انقُل $3$ إلى يسار $3 x - 4$ .

$\frac{3 \cdot (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 4}{| 3 x - 4 |}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{9 x + 3 \cdot - 4}{| 3 x - 4 |}$

خطوة 1.1.3.2.2

اضرب $3$ في $- 4$ .

$\frac{9 x - 12}{| 3 x - 4 |}$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $3$ من $9 x - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $9 x$ .

$\frac{3 (3 x) - 12}{| 3 x - 4 |}$

خطوة 1.1.3.3.2

أخرِج العامل $3$ من $- 12$ .

$\frac{3 (3 x) + 3 (- 4)}{| 3 x - 4 |}$

خطوة 1.1.3.3.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (3 x) + 3 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$3 (3 x - 4) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $3 (3 x - 4) = 0$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اقسِم كل حد في $3 (3 x - 4) = 0$ على $3$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (3 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 2.3.1.2.1.2

اقسِم $3 x - 4$ على $1$ .

$3 x - 4 = \frac{0}{3}$

خطوة 2.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $3$ .

$3 x - 4 = 0$

خطوة 2.3.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 4$

خطوة 2.3.3

اقسِم كل حد في $3 x = 4$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم كل حد في $3 x = 4$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

خطوة 2.3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$| 3 x - 4 | = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$3 x - 4 = \pm 0$

خطوة 3.2.2

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$3 x - 4 = 0$

خطوة 3.2.3

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 4$

خطوة 3.2.4

اقسِم كل حد في $3 x = 4$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اقسِم كل حد في $3 x = 4$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

خطوة 3.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

خطوة 3.2.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

خطوة 4

احسِب قيمة $| 3 x - 4 |$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = \frac{4}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{4}{3}$ .

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

خطوة 4.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| 4 - 4 |$

خطوة 4.1.2.2

اطرح $4$ من $4$ .

$| 0 |$

خطوة 4.1.2.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(\frac{4}{3}, 0)$

خطوة 5