حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (y) = \frac{y - 4}{y^{2} - 2 y + 8}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ هو $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ حيث $f (y) = y - 4$ و $g (y) = y^{2} - 2 y + 8$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \frac{d}{d y} [y - 4] - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 4$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + 0) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \cdot 1 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.2

اضرب $y^{2} - 2 y + 8$ في $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - 2 y + 8$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.9

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.10

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + 0)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.11

أضف $2 y - 2$ و $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y - - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y + 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2

وسّع $(- y + 4) (2 y - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y - 2) + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.2.1

انقُل $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.5

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3.1.6

اضرب $4$ في $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3.2

أضف $2 y$ و $8 y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1

اطرح $8$ من $8$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y + 0}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.2.2

أضف $y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y$ و $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.3

اطرح $2 y^{2}$ من $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - 2 y + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.4

أضف $- 2 y$ و $10 y$ .

$\frac{- y^{2} + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2} + 8 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $8 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y (- y) + y \cdot 8$ .

$\frac{y (- y + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $- 1 (- 8)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y) - 1 (- 8)$ .

$\frac{y (- (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.7

أعِد كتابة $- (y - 8)$ بالصيغة $- 1 (y - 8)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (y) = - \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$y (y - 8) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$y = 0$

$y - 8 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة $y$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y = 0$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $y - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $y - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y - 8 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 8$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $y (y - 8) = 0$ صحيحة.

$y = 0, 8$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{y - 4}{y^{2} - 2 y + 8}$ عند كل قيمة $y$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $y = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $y$ التي تساوي $0$ .

$\frac{(0) - 4}{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 8}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اطرح $4$ من $0$ .

$\frac{- 4}{0^{2} - 2 \cdot 0 + 8}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{- 4}{0 - 2 \cdot 0 + 8}$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$\frac{- 4}{0 + 0 + 8}$

خطوة 4.1.2.2.3

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{- 4}{0 + 8}$

خطوة 4.1.2.2.4

أضف $0$ و $8$ .

$\frac{- 4}{8}$

خطوة 4.1.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{8}$

خطوة 4.1.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

خطوة 4.1.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

خطوة 4.1.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{2}$

خطوة 4.1.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $y = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $y$ التي تساوي $8$ .

$\frac{(8) - 4}{{(8)}^{2} - 2 \cdot 8 + 8}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اطرح $4$ من $8$ .

$\frac{4}{8^{2} - 2 \cdot 8 + 8}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$\frac{4}{64 - 2 \cdot 8 + 8}$

خطوة 4.2.2.2.2

اضرب $- 2$ في $8$ .

$\frac{4}{64 - 16 + 8}$

خطوة 4.2.2.2.3

اطرح $16$ من $64$ .

$\frac{4}{48 + 8}$

خطوة 4.2.2.2.4

أضف $48$ و $8$ .

$\frac{4}{56}$

خطوة 4.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $56$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 (1)}{56}$

خطوة 4.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $56$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 14}$

خطوة 4.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 14}$

خطوة 4.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{14}$

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0, - \frac{1}{2}), (8, \frac{1}{14})$

خطوة 5