حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 8 + 4 e^{0.5 x}$ , $[- 3, 3]$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$8 + 4 e^{0.5 x} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $8 + 4 e^{0.5 x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$4 e^{0.5 x} = - 8$

خطوة 1.2.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (4 e^{0.5 x}) = \ln (- 8)$

خطوة 1.2.3

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (- 8)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 1.2.4

لا يوجد حل لـ $4 e^{0.5 x} = - 8$

لا يوجد حل

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x - \int_{- 3}^{3} 0 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} - (0) d x$

خطوة 3.2

اطرح $0$ من $8 + 4 e^{0.5 x}$ .

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 3}^{3} 8 d x + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

خطوة 3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$8 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

خطوة 3.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 3}^{3} e^{0.5 x} d x$

خطوة 3.6

لنفترض أن $u = 0.5 x$ . إذن $d u = 0.5 d x$ ، لذا $\frac{1}{0.5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

افترض أن $u = 0.5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

أوجِد مشتقة $0.5 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x]$

خطوة 3.6.1.2

بما أن $0.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $0.5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0.5 \cdot 1$

خطوة 3.6.1.4

اضرب $0.5$ في $1$ .

$0.5$

خطوة 3.6.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 0.5 x$ .

$u_{lower} = 0.5 \cdot - 3$

خطوة 3.6.3

اضرب $0.5$ في $- 3$ .

$u_{lower} = - 1.5$

خطوة 3.6.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 0.5 x$ .

$u_{upper} = 0.5 \cdot 3$

خطوة 3.6.5

اضرب $0.5$ في $3$ .

$u_{upper} = 1.5$

خطوة 3.6.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1.5$

$u_{upper} = 1.5$

خطوة 3.6.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} \frac{1}{0.5} d u$

خطوة 3.7

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{0.5}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} \frac{e^{u}}{0.5} d u$

خطوة 3.8

بما أن $\frac{1}{0.5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{0.5}$ خارج التكامل.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 (\frac{1}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u)$

خطوة 3.9

اجمع $\frac{1}{0.5}$ و $4$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u$

خطوة 3.10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

خطوة 3.11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

احسِب قيمة $8 x$ في $3$ وفي $- 3$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

خطوة 3.11.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $1.5$ وفي $- 1.5$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

خطوة 3.11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.3.1

اضرب $8$ في $3$ .

$24 - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

خطوة 3.11.3.2

اضرب $- 8$ في $- 3$ .

$24 + 24 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

خطوة 3.11.3.3

أضف $24$ و $24$ .

$48 + \frac{4}{0.5} (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

خطوة 3.12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

اقسِم $4$ على $0.5$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

خطوة 3.12.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - \frac{1}{e^{1.5}})$

خطوة 3.12.3

طبّق خاصية التوزيع.

$48 + 8 e^{1.5} + 8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$

خطوة 3.12.4

اضرب $8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.1

اضرب $- 1$ في $8$ .

$48 + 8 e^{1.5} - 8 \frac{1}{e^{1.5}}$

خطوة 3.12.4.2

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$48 + 8 e^{1.5} + \frac{- 8}{e^{1.5}}$

خطوة 3.12.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$48 + 8 e^{1.5} - \frac{8}{e^{1.5}}$

خطوة 4