حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{- x^{2} - 25}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = - x^{2} - 25$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [- x^{2} - 25] - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{2} - 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $- 25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

أضف $- 2 x$ و $0$ .

$\frac{x (- 2 x) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1}) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2 x^{1 + 1} - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 25) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 25)}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 x^{2} - - x^{2} - - 25}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.2.1.1

اضرب $- - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.2.1.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1 x^{2} - - 25}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.2.1.1.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x^{2} - - 25}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 25$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x^{2} + 25}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.2.2

أضف $- 2 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.3.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.3.2

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.3.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 5$ و $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$(5 + x) (5 - x) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة العبارة $5 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن قيمة $5 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 + x = 0$

خطوة 2.3.2.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$x = - 5$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $5 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $5 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 - x = 0$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $5 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 5$

خطوة 2.3.3.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 5$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 5$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 2.3.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.3.1

اقسِم $- 5$ على $- 1$ .

$x = 5$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(5 + x) (5 - x) = 0$ صحيحة.

$x = - 5, 5$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- 5, 5$ .

$- 5, 5$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 5)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f' (- 6) = \frac{(5 - 6) (5 - (- 6))}{{(- 6)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احذِف الأقواس.

$f' (- 6) = \frac{(5 - 6) (5 - (- 6))}{{(- 6)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $6$ من $5$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 (5 - (- 6))}{{(- 6)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 (5 + 6)}{{(- 6)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

أضف $5$ و $6$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 \cdot 11}{{(- 6)}^{2}}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 \cdot 11}{36}$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $- 1$ في $11$ .

$f' (- 6) = \frac{- 11}{36}$

خطوة 6.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 6) = - \frac{11}{36}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{11}{36}$ .

$- \frac{11}{36}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 6$ هو $- \frac{11}{36}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 5)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 5)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 5, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{5}{2}$ في العبارة.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(5 - \frac{5}{2}) (5 - (- \frac{5}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

احذِف الأقواس.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(5 - \frac{5}{2}) (5 - (- \frac{5}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}) (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

اجمع $5$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}) (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 \cdot 2 - 5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.4.1

اضرب $5$ في $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{10 - 5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.4.2

اطرح $5$ من $10$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.5

اضرب $- - \frac{5}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 + 1 (\frac{5}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.5.2

اضرب $\frac{5}{2}$ في $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.6

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.7

اجمع $5$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 + 5}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.9.1

اضرب $5$ في $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{10 + 5}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.9.2

أضف $10$ و $5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 {(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.3.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

خطوة 7.2.3.4

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 (\frac{25}{2^{2}})}$

خطوة 7.2.3.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 (\frac{25}{4})}$

خطوة 7.2.3.6

اضرب $\frac{25}{4}$ في $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{\frac{25}{4}}$

خطوة 7.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

اضرب $\frac{5}{2}$ في $\frac{15}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 \cdot 15}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

خطوة 7.2.4.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.1

اضرب $5$ في $15$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

خطوة 7.2.4.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{4}}{\frac{25}{4}}$

خطوة 7.2.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

خطوة 7.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.1

أخرِج العامل $25$ من $75$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{25 (3)}{4} \cdot \frac{4}{25}$

خطوة 7.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{25 \cdot 3}{4} \cdot \frac{4}{25}$

خطوة 7.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

خطوة 7.2.7

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

خطوة 7.2.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- \frac{5}{2}) = 3$

خطوة 7.2.8

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - \frac{5}{2}$ هو $3$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 5, 0)$ .

تزايد خلال $(- 5, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 5)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(5 + \frac{5}{2}) (5 - (\frac{5}{2}))}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احذِف الأقواس.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(5 + \frac{5}{2}) (5 - (\frac{5}{2}))}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}) (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

اجمع $5$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}) (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 \cdot 2 + 5}{2} \cdot (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.4.1

اضرب $5$ في $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{10 + 5}{2} \cdot (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4.2

أضف $10$ و $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.5

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.6

اجمع $5$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 - 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.8.1

اضرب $5$ في $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{10 - 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.8.2

اطرح $5$ من $10$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.3.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{\frac{25}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.3.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{\frac{25}{4}}$

خطوة 8.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

اضرب $\frac{15}{2}$ في $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15 \cdot 5}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

خطوة 8.2.4.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.2.1

اضرب $15$ في $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

خطوة 8.2.4.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{4}}{\frac{25}{4}}$

خطوة 8.2.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

خطوة 8.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.6.1

أخرِج العامل $25$ من $75$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{25 (3)}{4} \cdot \frac{4}{25}$

خطوة 8.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{25 \cdot 3}{4} \cdot \frac{4}{25}$

خطوة 8.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

خطوة 8.2.7

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

خطوة 8.2.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{5}{2}) = 3$

خطوة 8.2.8

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 8.3

المشتق في $x = \frac{5}{2}$ هو $3$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, 5)$ .

تزايد خلال $(0, 5)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(5, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = \frac{(5 + 6) (5 - (6))}{{(6)}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

احذِف الأقواس.

$f' (6) = \frac{(5 + 6) (5 - (6))}{{(6)}^{2}}$

خطوة 9.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أضف $5$ و $6$ .

$f' (6) = \frac{11 (5 - (6))}{6^{2}}$

خطوة 9.2.2.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$f' (6) = \frac{11 (5 - 6)}{6^{2}}$

خطوة 9.2.2.3

اطرح $6$ من $5$ .

$f' (6) = \frac{11 \cdot - 1}{6^{2}}$

خطوة 9.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f' (6) = \frac{11 \cdot - 1}{36}$

خطوة 9.2.3.2

اضرب $11$ في $- 1$ .

$f' (6) = \frac{- 11}{36}$

خطوة 9.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (6) = - \frac{11}{36}$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{11}{36}$ .

$- \frac{11}{36}$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 6$ هو $- \frac{11}{36}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(5, \infty)$ .

تناقص خلال $(5, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 10

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- 5, 0), (0, 5)$

تناقص خلال: $(- \infty, - 5), (5, \infty)$

خطوة 11