حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x} - 2 x$

خطوة 1

اكتب $e^{x} - 2 x$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{x} - 2 x$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x} - 2 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$e^{x} - 2$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2)$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = e^{x} + 0$

خطوة 3.3.2

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$f'' (x) = e^{x}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$e^{x} - 2 = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x} - 2 \cdot 1$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 2$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x} - 2$ .

$e^{x} - 2$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $e^{x} - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

خطوة 6.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$e^{x} = 2$

خطوة 6.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

خطوة 6.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (2)$

خطوة 6.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

خطوة 6.4.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (2)$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \ln (2)$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \ln (2)$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$e^{\ln (2)}$

خطوة 10

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$2$

خطوة 11

$x = \ln (2)$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \ln (2)$ هي حد أدنى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\ln (2)$ في العبارة.

$f (\ln (2)) = e^{\ln (2)} - 2 \ln (2)$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (2)) = 2 - 2 \ln (2)$

خطوة 12.2.1.2

بسّط $- 2 \ln (2)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (\ln (2)) = 2 - \ln (2^{2})$

خطوة 12.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\ln (2)) = 2 - \ln (4)$

خطوة 12.2.2

الإجابة النهائية هي $2 - \ln (4)$ .

$y = 2 - \ln (4)$

خطوة 13

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = e^{x} - 2 x$ .

$(\ln (2), 2 - \ln (4))$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 14