حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$ , $[1, 4]$

خطوة 1

إذا كانت $f$ متصلة في الفترة $[a, b]$ وقابلة للاشتقاق في $(a, b)$ ، إذن يوجد على الأقل عدد حقيقي واحد $c$ في الفترة $(a, b)$ حيث إن $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . وتعبر نظرية القيمة المتوسطة عن العلاقة بين ميل المماس للمنحنى عند $x = c$ وميل الخط المار بالنقطتين $(a, f (a))$ و $(b, f (b))$ .

إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[a, b]$

وإذا كانت $f (x)$ قابلة للاشتقاق على $(a, b)$ ،

إذن، توجد نقطة واحدة على الأقل، $c$ في $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ متصلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $[1, 4]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x}{x + 2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x + 2 = 0$

خطوة 2.1.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 2.1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq - 2}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq - 2}$

خطوة 2.2

$f (x)$ متصلة على $[1, 4]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 3

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.1.2.2

اضرب $x + 2$ في $1$ .

$\frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.1.2.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.1.2.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.1.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.1.2.6.3

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.1.2.6.4

أضف $0$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد ما إذا كان المشتق متصلاً على $(1, 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $(1, 4)$ أم لا، أوجِد نطاق $f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x + 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 4.1.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 4.1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq - 2}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq - 2}$

خطوة 4.2

$f' (x)$ متصلة على $(1, 4)$ .

الدالة متصلة.

خطوة 5

الدالة قابلة للاشتقاق على $(1, 4)$ لأن المشتق متصل على $(1, 4)$ .

الدالة قابلة للاشتقاق.

خطوة 6

تستوفي $f (x)$ الشرطين لنظرية القيمة المتوسطة. إنها متصلة على $[1, 4]$ وقابلة للاشتقاق على $(1, 4)$ .

$f (x)$ متصلة على $[1, 4]$ وقابلة للاشتقاق على $(1, 4)$ .

خطوة 7

احسِب قيمة $f (a)$ من الفترة $[1, 4]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \frac{1}{(1) + 2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أضف $1$ و $2$ .

$f (1) = \frac{1}{3}$

خطوة 7.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 8

احسِب قيمة $f (b)$ من الفترة $[1, 4]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = \frac{4}{(4) + 2}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $(4) + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{4 + 2}$

خطوة 8.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (2) + 2}$

خطوة 8.2.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 1}$

خطوة 8.2.1.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 2 + 2 \cdot 1$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

خطوة 8.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

خطوة 8.2.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$f (4) = \frac{2}{2 + 1}$

خطوة 8.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$f (4) = \frac{2}{3}$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ . $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (1))}{- (4 + 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اضرب $- 1$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

خطوة 9.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 1}{3}}{(4) - (1)}$

خطوة 9.1.3

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

خطوة 9.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{4 - 1}$

خطوة 9.1.5

اطرح $1$ من $4$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{3}$

خطوة 9.1.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 9.1.7

اضرب $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.7.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

خطوة 9.1.7.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$

خطوة 9.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

${(x + 2)}^{2}, 9$

خطوة 9.2.2

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 9.2.3

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 9.2.4

$9$ لها العاملان $3$ و $3$ .

$3 \cdot 3$

خطوة 9.2.5

اضرب $3$ في $3$ .

$9$

خطوة 9.2.6

عوامل $x + 2$ هي $(x + 2) \cdot (x + 2)$ ، والتي تساوي حاصل ضرب $x + 2$ في نفسها بمعدل $2$ من المرات.

$(x + 2) = (x + 2) \cdot (x + 2)$

تحدث $(x + 2)$ بمعدل $2$ من المرات.

خطوة 9.2.7

المضاعف المشترك الأصغر لـ ${(x + 2)}^{2}$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

${(x + 2)}^{2}$

خطوة 9.2.8

المضاعف المشترك الأصغر $LCM$ لبعض الأعداد هو أصغر عدد تمثل الأعداد عوامله.

$9 {(x + 2)}^{2}$

خطوة 9.3

اضرب كل حد في $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ في $9 {(x + 2)}^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب كل حد في $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ في $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} (9 {(x + 2)}^{2}) = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

خطوة 9.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

خطوة 9.3.2.2

اضرب $9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.2.1

اجمع $9$ و $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

خطوة 9.3.2.2.2

اضرب $9$ في $2$ .

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

خطوة 9.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

خطوة 9.3.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

خطوة 9.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1.1

أخرِج العامل $9$ من $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$18 = \frac{1}{9} (9 ({(x + 2)}^{2}))$

خطوة 9.3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

خطوة 9.3.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$18 = {(x + 2)}^{2}$

خطوة 9.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة ${(x + 2)}^{2} = 18$ .

${(x + 2)}^{2} = 18$

خطوة 9.4.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x + 2 = \pm \sqrt{18}$

خطوة 9.4.3

بسّط $\pm \sqrt{18}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.3.1

أعِد كتابة $18$ بالصيغة $3^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.3.1.1

أخرِج العامل $9$ من $18$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{9 (2)}$

خطوة 9.4.3.1.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

خطوة 9.4.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x + 2 = \pm 3 \sqrt{2}$

خطوة 9.4.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x + 2 = 3 \sqrt{2}$

خطوة 9.4.4.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = 3 \sqrt{2} - 2$

خطوة 9.4.4.3

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x + 2 = - 3 \sqrt{2}$

خطوة 9.4.4.4

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$

خطوة 9.4.4.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 3 \sqrt{2} - 2, - 3 \sqrt{2} - 2$

خطوة 10

يوجد خط مماس عند $x = 3 \sqrt{2} - 2$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 1$ و $b = 4$ .

يوجد خط مماس عند $x = 3 \sqrt{2} - 2$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 1$ و $b = 4$

خطوة 11

يوجد خط مماس عند $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 1$ و $b = 4$ .

يوجد خط مماس عند $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 1$ و $b = 4$

خطوة 12