حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (9 + \ln (x))$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 9 + \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $9 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 + \ln (x)$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 + \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 1.2.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 1.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 1.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 1.4

اضرب $\frac{1}{9 + \ln (x)}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{(9 + \ln (x)) x}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{9 x + \ln (x) x}$

خطوة 1.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{x \ln (x) + 9 x}$

خطوة 1.5.3

أخرِج العامل $x$ من $x \ln (x) + 9 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x (\ln (x)) + 9 x}$

خطوة 1.5.3.2

أخرِج العامل $x$ من $9 x$ .

$\frac{1}{x (\ln (x)) + x \cdot 9}$

خطوة 1.5.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x (\ln (x)) + x \cdot 9$ .

$f' (x) = \frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$ بالصيغة ${(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x (\ln (x) + 9)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x (\ln (x) + 9)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x (\ln (x) + 9)$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x) + 9$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x) + 9] + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\ln (x) + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.5

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + 0) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

أضف $\frac{1}{x}$ و $0$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6.2.2

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \cdot 1)$

خطوة 2.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

اضرب $\ln (x) + 9$ في $1$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + \ln (x) + 9)$

خطوة 2.6.4.2

أضف $1$ و $9$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (10 + \ln (x))$

خطوة 2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x (\ln (x) + 9))}^{2}} (10 + \ln (x))$

خطوة 2.7.2

طبّق قاعدة الضرب على $x (\ln (x) + 9)$ .

$- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$

خطوة 2.7.3

أعِد ترتيب عوامل $- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$ .

$- (10 + \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

خطوة 2.7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(- 1 \cdot 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

خطوة 2.7.5

اضرب $- 1$ في $10$ .

$(- 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

خطوة 2.7.6

اضرب $- 10 - \ln (x)$ في $\frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 10 - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

خطوة 2.7.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 10 - \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.7.1

أعِد كتابة $- 10$ بالصيغة $- 1 (10)$ .

$\frac{- 1 (10) - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

خطوة 2.7.7.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \ln (x)$ .

$\frac{- 1 (10) - (\ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

خطوة 2.7.7.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (10) - (\ln (x))$ .

$\frac{- 1 (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

خطوة 2.7.7.4

أعِد كتابة $- 1 (10 + \ln (x))$ بالصيغة $- (10 + \ln (x))$ .

$\frac{- (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

خطوة 2.7.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{10 + \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$