حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 1.3.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 1.3.5

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.4.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 (- \sin (x))$

خطوة 1.4.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 \sin (x)$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) - 2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

خطوة 1.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اطرح $2 x \cos (x)$ من $\cos (x) (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

انقُل $\cos (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + 2 x \cos (x) - 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

خطوة 1.5.2.1.2

اطرح $2 x \cos (x)$ من $2 x \cos (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + 0 - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

خطوة 1.5.2.2

أضف $x^{2} (- \sin (x))$ و $0$ .

$x^{2} (- \sin (x)) - 2 \sin (x) + 2 \sin (x)$

خطوة 1.5.2.3

أضف $- 2 \sin (x)$ و $2 \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + 0$

خطوة 1.5.2.4

أضف $x^{2} (- \sin (x))$ و $0$ .

$x^{2} (- \sin (x))$

خطوة 1.5.3

أعِد ترتيب عوامل $x^{2} (- \sin (x))$ .

$f' (x) = - x^{2} \sin (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2} \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x))$

خطوة 2.5.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$

خطوة 2.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)$