حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{2 x^{3} + 9}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 2 x^{3} + 9$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 9] - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.2.6

أضف $6 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.5

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 9) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 9)}{x^{2}}$

خطوة 1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

خطوة 1.8.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.1.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

خطوة 1.8.2.1.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 9}{x^{2}}$

خطوة 1.8.2.2

اطرح $2 x^{3}$ من $6 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 9}{x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9] - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9] - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9] - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.2.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.2.5

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.2.6

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{2} + 0) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.2.7

أضف $12 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{2}) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.3

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} \cdot 12 - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2 + 2} \cdot 12 - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.3.3

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{x^{4} \cdot 12 - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.4

انقُل $12$ إلى يسار $x^{4}$ .

$\frac{12 \cdot x^{4} - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{12 x^{4} - (4 x^{3} - 9) (2 x)}{x^{4}}$

خطوة 2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{3} - 9) x}{x^{4}}$

خطوة 2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{12 x^{4} + (- 2 (4 x^{3}) - 2 \cdot - 9) x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{3}) x - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1.1

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 (x \cdot x^{3})) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 (x^{1} x^{3})) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{1 + 3}) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.1.1.3

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{4}) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.1.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$\frac{12 x^{4} - 8 x^{4} - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.1.3

اضرب $- 2$ في $- 9$ .

$\frac{12 x^{4} - 8 x^{4} + 18 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.3.2

اطرح $8 x^{4}$ من $12 x^{4}$ .

$\frac{4 x^{4} + 18 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.4

أخرِج العامل $2 x$ من $4 x^{4} + 18 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1

أخرِج العامل $2 x$ من $4 x^{4}$ .

$\frac{2 x (2 x^{3}) + 18 x}{x^{4}}$

خطوة 2.7.4.2

أخرِج العامل $2 x$ من $18 x$ .

$\frac{2 x (2 x^{3}) + 2 x (9)}{x^{4}}$

خطوة 2.7.4.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (2 x^{3}) + 2 x (9)$ .

$\frac{2 x (2 x^{3} + 9)}{x^{4}}$

خطوة 2.7.5

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.5.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x (2 x^{3} + 9)$ .

$\frac{x (2 (2 x^{3} + 9))}{x^{4}}$

خطوة 2.7.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.5.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{x (2 (2 x^{3} + 9))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.7.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (2 (2 x^{3} + 9))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.7.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{3} + 9)}{x^{3}}$