حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{7^{n}}{4^{n + 3}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{n}$ و $a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{\frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}}}{\frac{7^{n}}{4^{n + 3}}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$r = \frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}} \cdot \frac{4^{n + 3}}{7^{n}}$

خطوة 2.2.2

اجمع.

$r = \frac{7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

خطوة 2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $7^{n + 1}$ و $7^{n}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $7^{n}$ من $7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

خطوة 2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

أخرِج العامل $7^{n}$ من $4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

خطوة 2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

خطوة 2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3}}$

خطوة 2.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $4^{n + 3}$ و $4^{n + 1 + 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أخرِج العامل $4^{n + 1 + 3}$ من $7 \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3}}$

خطوة 2.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}}{1}$

خطوة 2.2.4.2.4

اقسِم $7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$ على $1$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$

خطوة 2.2.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

أضف $1$ و $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 4)}$

خطوة 2.2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 1 \cdot 4}$

خطوة 2.2.5.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 4}$

خطوة 2.2.6

جمّع الحدود المتعاكسة في $n + 3 - n - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اطرح $n$ من $n$ .

$r = 7 \cdot 4^{0 + 3 - 4}$

خطوة 2.2.6.2

أضف $0$ و $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{3 - 4}$

خطوة 2.2.7

اطرح $4$ من $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{- 1}$

خطوة 2.2.8

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 7 \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 2.2.9

اجمع $7$ و $\frac{1}{4}$ .

$r = \frac{7}{4}$

خطوة 3

Check if the series is convergent or divergent.

Since $| r | \geq 1$ , the series diverges.