حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{- 3} \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{- 3}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

خطوة 1.1.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اجمع $x^{- 3}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

خطوة 1.1.3.2

انقُل $x^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

خطوة 1.1.4

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

خطوة 1.1.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{x^{1 + 3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

خطوة 1.1.4.2

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) (- 3 x^{- 4})$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- 3 x^{- 4} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 1.1.6.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 1.1.6.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 1.1.6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 1.1.6.2.4

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 1.1.6.2.5

انقُل $3$ إلى يسار $\ln (x)$ .

$f' (x) = - \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$

خطوة 2.2

اطرح $\frac{1}{x^{4}}$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} = - \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 2.3

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$- 3 \ln (x) = - 1$

خطوة 2.4

اقسِم كل حد في $- 3 \ln (x) = - 1$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اقسِم كل حد في $- 3 \ln (x) = - 1$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

خطوة 2.4.2.1.2

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 3}$

خطوة 2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\ln (x) = \frac{1}{3}$

خطوة 2.5

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{3}}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة $\ln (x) = \frac{1}{3}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3}} = x$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = e^{\frac{1}{3}}$ .

$x = e^{\frac{1}{3}}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{3 \ln (x)}{x^{4}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{4} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

خطوة 3.2.2

بسّط $\pm \sqrt[4]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

خطوة 3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x \leq 0$

خطوة 3.4

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 4

احسِب قيمة $x^{- 3} \ln (x)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = e^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $e^{\frac{1}{3}}$ .

${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

خطوة 4.1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

خطوة 4.1.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

خطوة 4.1.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

خطوة 4.1.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

خطوة 4.1.2.3

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $\frac{1}{3}$ خارج الأُس.

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \ln (e))$

خطوة 4.1.2.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \cdot 1)$

خطوة 4.1.2.5

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{e} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 4.1.2.6

اضرب $\frac{1}{e}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{e \cdot 3}$

خطوة 4.1.2.7

انقُل $3$ إلى يسار $e$ .

$\frac{1}{3 e}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

${(0)}^{- 3} \ln (0)$

خطوة 4.2.2

اللوغاريتم الطبيعي للصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(e^{\frac{1}{3}}, \frac{1}{3 e})$

خطوة 5