حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$16 \sin^{2} (2 x)$

خطوة 1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$16 \int \sin^{2} (2 x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3

اجمع $\sin^{2} (u_{1})$ و $\frac{1}{2}$ .

$16 \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$16 (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $16$ .

$\frac{16}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{8}{1} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 5.2.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $8$ .

$\frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 8.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$4 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 12

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 12.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 12.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 12.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 12.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$4 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 13

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$4 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 14

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$4 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

خطوة 15

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$4 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

خطوة 16

بسّط.

$4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 17

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 17.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 u_{1}$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

خطوة 17.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

خطوة 18.1.2

اجمع $\sin (4 x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$4 (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

خطوة 18.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (2 x) + 4 (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

خطوة 18.3

اضرب $2$ في $4$ .

$8 x + 4 (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

خطوة 18.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sin (4 x)}{2}$ إلى بسط الكسر.

$8 x + 4 \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

خطوة 18.4.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$8 x + 2 (2) \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

خطوة 18.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$8 x + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

خطوة 18.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$8 x + 2 (- \sin (4 x)) + C$

خطوة 18.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$8 x - 2 \sin (4 x) + C$