حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 2.1.2.3

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 2.1.2.4

اجمع $\frac{2}{2}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 2.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 2.1.2.5.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.1.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - \frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

خطوة 2.2.2.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

خطوة 2.2.2.6

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

خطوة 2.2.2.7

اضرب $\frac{1}{x}$ في $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0$

خطوة 2.2.2.8

أضف $x^{- 2}$ و $0$ .

$1 + x^{- 2}$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 2.2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

خطوة 3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

خطوة 3.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x^{2}, 1$

خطوة 3.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x^{2}$

خطوة 3.4

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ في $x^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ في $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

خطوة 3.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = - x^{2}$

خطوة 3.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- x^{2} = 1$ .

$- x^{2} = 1$

خطوة 3.5.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} = 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = 1$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 3.5.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 3.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

خطوة 3.5.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

خطوة 3.5.4

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i$

خطوة 3.5.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i$

خطوة 3.5.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i$

خطوة 3.5.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i, - i$

خطوة 4

لا توجد قيم يمكن أن تجعل المشتق الثاني مساويًا لـ $0$ .

لا توجد نقاط انقلاب