حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

خطوة 1

اكتب $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ في صورة دالة.

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin^{3} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.2.4

اضرب $3$ في $2$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ و $0$ .

$f' (x) = 6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin^{2} (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.5

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.6

اضرب $\sin^{2} (x)$ في $\sin (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.6.1

انقُل $\sin (x)$ .

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.6.2

اضرب $\sin (x)$ في $\sin^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.6.2.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.6.3

أضف $1$ و $2$ .

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.7

انقُل $- 1$ إلى يسار $\sin^{3} (x)$ .

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.8

أعِد كتابة $- 1 \sin^{3} (x)$ بالصيغة $- \sin^{3} (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.9

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.10

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2.12

أضف $1$ و $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.2.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

خطوة 2.2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اضرب $- 1$ في $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

خطوة 2.2.4.2.2

اضرب $2$ في $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

خطوة 2.2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $12 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $- 6 \sin^{3} (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

خطوة 3.2.4

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

خطوة 3.2.5

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 3.4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.4.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 3.4.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 3.4.2.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.4.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.4.2.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

خطوة 3.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

استبدِل $4 \cos^{2} (x)$ بـ $4 (1 - \sin^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

خطوة 3.5.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

خطوة 3.5.2.2.2

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

خطوة 3.5.2.2.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

خطوة 3.5.2.3

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

اطرح $1$ من $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

خطوة 3.5.2.3.2

اطرح $2 \sin^{2} (x)$ من $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

خطوة 3.5.2.4

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$

خطوة 3.5.2.5

اقسِم كل حد في $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ على $- 6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.1

اقسِم كل حد في $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ على $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

خطوة 3.5.2.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

خطوة 3.5.2.5.2.1.2

اقسِم $\sin^{2} (x)$ على $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 6}$

خطوة 3.5.2.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.3.1.1

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 (1)}{- 6}$

خطوة 3.5.2.5.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.3.1.2.1

أخرِج العامل $- 3$ من $- 6$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

خطوة 3.5.2.5.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

خطوة 3.5.2.5.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

خطوة 3.5.2.6

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.5.2.7

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.7.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.5.2.7.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.5.2.7.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.5.2.7.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.7.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 3.5.2.7.4.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 3.5.2.7.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 3.5.2.7.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.5.2.7.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 3.5.2.7.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.7.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.5.2.7.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.5.2.7.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.5.2.7.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.7.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.5.2.7.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 3.5.2.7.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.5.2.8

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.8.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.5.2.8.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.5.2.8.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.5.2.9

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.5.2.10

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.10.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 3.5.2.10.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.10.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 3.5.2.10.3

$x = π - \frac{π}{4}$

خطوة 3.5.2.10.4

بسّط $π - \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.10.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 3.5.2.10.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.10.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 3.5.2.10.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 3.5.2.10.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.10.4.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 3.5.2.10.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 3.5.2.10.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.10.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.5.2.10.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.5.2.10.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.5.2.10.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.5.2.10.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.5.2.11

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.11.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 3.5.2.11.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.11.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

خطوة 3.5.2.11.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

خطوة 3.5.2.11.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.11.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

خطوة 3.5.2.11.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{5 π}{4}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 3.5.2.11.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.11.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.5.2.11.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.5.2.11.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.5.2.11.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.5.2.11.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.11.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{4}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

خطوة 3.5.2.11.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 3.5.2.11.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.11.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 3.5.2.11.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 3.5.2.11.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.11.6.4.1

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

خطوة 3.5.2.11.6.4.2

اطرح $π$ من $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

خطوة 3.5.2.11.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{7 π}{4}$

خطوة 3.5.2.11.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.5.2.12

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.5.2.13

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.7

ادمج $2 π n$ و $π + 2 π n$ في $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ في $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ هي $(,)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(,)$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{π}{4}$ في $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin^{3} (\frac{π}{4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.3.3

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.3.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.3.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.3.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 (4)}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.6

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2$

خطوة 4.2.2.1.8

اجمع $3$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 2$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.2.2.2.2

أضف $\sqrt{2}$ و $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.2.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

خطوة 4.2.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

خطوة 4.2.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

خطوة 4.2.2.2.3.2.4

اقسِم $2 \sqrt{2}$ على $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + 2 \sqrt{2}$

خطوة 4.2.2.3

الإجابة النهائية هي $2 + 2 \sqrt{2}$ .

$2 + 2 \sqrt{2}$

خطوة 4.3

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{π}{4}$ في $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ هي $(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

خطوة 4.4

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty,) \cup (, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty,)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = 12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

خطوة 6.2

الإجابة النهائية هي $12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$ .

$12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 0.1$ يساوي $- 0.88059055$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty,)$

تناقص خلال $(- \infty,)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(, \frac{π}{4})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.39269908$ في العبارة.

$f'' (0.39269908) = 12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

خطوة 7.2

الإجابة النهائية هي $12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$ .

$12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

خطوة 7.3

في $0.39269908$ ، المشتق الثاني هو $2.43538245$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(, \frac{π}{4})$ .

تزايد خلال $(, \frac{π}{4})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{π}{4}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.88539816$ في العبارة.

$f'' (0.88539816) = 12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

خطوة 8.2

الإجابة النهائية هي $12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$ .

$12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $0.88539816$ يساوي $- 1.38422929$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\frac{π}{4}, \infty)$

تناقص خلال $(\frac{π}{4}, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

خطوة 10