حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

بما أن $64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $64 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.1.2.3

اضرب $2$ في $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بما أن $128$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{128}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.1.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$128 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.1.3.4

اضرب $- 1$ في $128$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + 0$

خطوة 1.1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

خطوة 1.1.1.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.2.1

اجمع $- 128$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

خطوة 1.1.1.5.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$128 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

خطوة 1.1.1.5.2.3

أضف $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ و $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{128}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [128 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

بما أن $128$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $128 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $128 \frac{d}{d x} [x]$ .

$128 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

خطوة 1.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$128 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

خطوة 1.1.2.2.3

اضرب $128$ في $1$ .

$128 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

خطوة 1.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بما أن $- 128$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{128}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$128 - 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 1.1.2.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$128 - 128 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

خطوة 1.1.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$128 - 128 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.1.2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$128 - 128 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.1.2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

خطوة 1.1.2.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$128 - 128 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

خطوة 1.1.2.3.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$128 - 128 (- x^{- 4} (2 x))$

خطوة 1.1.2.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$128 - 128 (- 2 x^{- 4} x)$

خطوة 1.1.2.3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$128 - 128 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

خطوة 1.1.2.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$128 - 128 (- 2 x^{1 - 4})$

خطوة 1.1.2.3.9

اطرح $4$ من $1$ .

$128 - 128 (- 2 x^{- 3})$

خطوة 1.1.2.3.10

اضرب $- 2$ في $- 128$ .

$128 + 256 x^{- 3}$

خطوة 1.1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 + 256 \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 1.1.2.4.2

اجمع $256$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$128 + \frac{256}{x^{3}}$

خطوة 1.1.2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = \frac{256}{x^{3}} + 128$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{256}{x^{3}} + 128$ .

$\frac{256}{x^{3}} + 128$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$

خطوة 1.2.2

اطرح $128$ من كلا المتعادلين.

$\frac{256}{x^{3}} = - 128$

خطوة 1.2.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x^{3}, 1$

خطوة 1.2.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x^{3}$

خطوة 1.2.4

اضرب كل حد في $\frac{256}{x^{3}} = - 128$ في $x^{3}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

اضرب كل حد في $\frac{256}{x^{3}} = - 128$ في $x^{3}$ .

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$256 = - 128 x^{3}$

خطوة 1.2.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 128 x^{3} = 256$ .

$- 128 x^{3} = 256$

خطوة 1.2.5.2

اطرح $256$ من كلا المتعادلين.

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

خطوة 1.2.5.3

أخرِج العامل $- 128$ من $- 128 x^{3} - 256$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1

أخرِج العامل $- 128$ من $- 128 x^{3}$ .

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

خطوة 1.2.5.3.2

أخرِج العامل $- 128$ من $- 256$ .

$- 128 x^{3} - 128 \cdot 2 = 0$

خطوة 1.2.5.3.3

أخرِج العامل $- 128$ من $- 128 (x^{3}) - 128 (2)$ .

$- 128 (x^{3} + 2) = 0$

خطوة 1.2.5.4

اقسِم كل حد في $- 128 (x^{3} + 2) = 0$ على $- 128$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.1

اقسِم كل حد في $- 128 (x^{3} + 2) = 0$ على $- 128$ .

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

خطوة 1.2.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 128$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

خطوة 1.2.5.4.2.1.2

اقسِم $x^{3} + 2$ على $1$ .

$x^{3} + 2 = \frac{0}{- 128}$

خطوة 1.2.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.4.3.1

اقسِم $0$ على $- 128$ .

$x^{3} + 2 = 0$

خطوة 1.2.5.5

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x^{3} = - 2$

خطوة 1.2.5.6

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[3]{- 2}$

خطوة 1.2.5.7

بسّط $\sqrt[3]{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.7.1

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.7.1.1

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (2)}$

خطوة 1.2.5.7.1.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.7.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = - 1 \sqrt[3]{2}$

خطوة 1.2.5.7.3

أعِد كتابة $- 1 \sqrt[3]{2}$ بالصيغة $- \sqrt[3]{2}$ .

$x = - \sqrt[3]{2}$

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{128}{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 2.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - \sqrt[3]{2}) \cup (- \sqrt[3]{2}, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f'' (- 4) = \frac{256}{{(- 4)}^{3}} + 128$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{- 64} + 128$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $256$ على $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 4 + 128$

خطوة 4.2.2

أضف $- 4$ و $128$ .

$f'' (- 4) = 124$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $124$ .

$124$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ لأن $f'' (- 4)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f'' (- 1) = \frac{256}{{(- 1)}^{3}} + 128$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{256}{- 1} + 128$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم $256$ على $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 256 + 128$

خطوة 5.2.2

أضف $- 256$ و $128$ .

$f'' (- 1) = - 128$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 128$ .

$- 128$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ لأن $f'' (- 1)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = \frac{256}{{(2)}^{3}} + 128$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (2) = \frac{256}{8} + 128$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $256$ على $8$ .

$f'' (2) = 32 + 128$

خطوة 6.2.2

أضف $32$ و $128$ .

$f'' (2) = 160$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $160$ .

$160$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(0, \infty)$ لأن $f'' (2)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(0, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(0, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 8