حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} \ln (3 x) + 6$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} \ln (3 x) + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (3 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.6

اضرب $3$ في $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.7

اجمع $\frac{1}{3 x}$ و $3$ .

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.9

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.10.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.10.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.10.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.10.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.10.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.10.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$x + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x + \ln (3 x) (2 x) + 0$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أضف $x + \ln (3 x) (2 x)$ و $0$ .

$x + \ln (3 x) (2 x)$

خطوة 1.1.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x \ln (3 x) + x$ .

$2 x \ln (3 x) + x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 x \ln (3 x) + x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x \ln (3 x) + x = 0$

خطوة 2.2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$2 x \ln (3 x) = - x$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $2 x \ln (3 x) = - x$ على $2 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $2 x \ln (3 x) = - x$ على $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 2.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 2.3.2.2.2

اقسِم $\ln (3 x)$ على $1$ .

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 2.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (3 x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 2.4

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (3 x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = 3 x$

خطوة 2.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 x = e^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 2.6.2

اقسِم كل حد في $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

خطوة 2.6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

خطوة 2.6.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

خطوة 2.6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.3.1

انقُل $e^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (3 x)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 x \leq 0$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $3 x \leq 0$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $3 x \leq 0$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \leq \frac{0}{3}$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اقسِم $0$ على $3$ .

$x \leq 0$

خطوة 3.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 4

احسِب قيمة $x^{2} \ln (3 x) + 6$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

${(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

خطوة 4.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1^{2}}{{(3 e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

خطوة 4.1.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1^{2}}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

خطوة 4.1.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

خطوة 4.1.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{9 {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب الأُسس في ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

خطوة 4.1.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

خطوة 4.1.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{9 e^{1}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

خطوة 4.1.2.3.3

بسّط.

$\frac{1}{9 e} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

خطوة 4.1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{9 e} \ln (3 \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

خطوة 4.1.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{9 e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

خطوة 4.1.2.5

انقُل $e^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{9 e} \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 6$

خطوة 4.1.2.6

وسّع $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ بنقل $- \frac{1}{2}$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 6$

خطوة 4.1.2.7

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 6$

خطوة 4.1.2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2}) + 6$

خطوة 4.1.2.9

اضرب $\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.9.1

اضرب $\frac{1}{9 e}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{9 e \cdot 2} + 6$

خطوة 4.1.2.9.2

اضرب $2$ في $9$ .

$- \frac{1}{18 e} + 6$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

${(0)}^{2} \ln (3 (0)) + 6$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 \ln (3 (0)) + 6$

خطوة 4.2.2.1.2

أعِد كتابة $\ln (3 (0))$ بالصيغة $\ln (3) + \ln (0)$ .

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

خطوة 4.2.2.1.3

اللوغاريتم الطبيعي للصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

خطوة 4.2.2.2

اللوغاريتم الطبيعي للصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{18 e} + 6)$

خطوة 5