حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{\frac{10}{11}} - x^{\frac{21}{11}}$

خطوة 1

اكتب $x^{\frac{10}{11}} - x^{\frac{21}{11}}$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{\frac{10}{11}} - x^{\frac{21}{11}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{\frac{10}{11}} - x^{\frac{21}{11}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{11}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{21}{11}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{11}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{21}{11}}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{11}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{10}{11}$ .

$\frac{10}{11} x^{\frac{10}{11} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{21}{11}}]$

خطوة 2.1.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{11}{11}$ .

$\frac{10}{11} x^{\frac{10}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{21}{11}}]$

خطوة 2.1.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{11}{11}$ .

$\frac{10}{11} x^{\frac{10}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{21}{11}}]$

خطوة 2.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{10}{11} x^{\frac{10 - 1 \cdot 11}{11}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{21}{11}}]$

خطوة 2.1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

اضرب $- 1$ في $11$ .

$\frac{10}{11} x^{\frac{10 - 11}{11}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{21}{11}}]$

خطوة 2.1.2.5.2

اطرح $11$ من $10$ .

$\frac{10}{11} x^{\frac{- 1}{11}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{21}{11}}]$

خطوة 2.1.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{10}{11} x^{- \frac{1}{11}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{21}{11}}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{21}{11}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{\frac{21}{11}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{21}{11}}]$ .

$\frac{10}{11} x^{- \frac{1}{11}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{21}{11}}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{21}{11}$ .

$\frac{10}{11} x^{- \frac{1}{11}} - (\frac{21}{11} x^{\frac{21}{11} - 1})$

خطوة 2.1.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{11}{11}$ .

$\frac{10}{11} x^{- \frac{1}{11}} - (\frac{21}{11} x^{\frac{21}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}})$

خطوة 2.1.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{11}{11}$ .

$\frac{10}{11} x^{- \frac{1}{11}} - (\frac{21}{11} x^{\frac{21}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}})$

خطوة 2.1.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{10}{11} x^{- \frac{1}{11}} - (\frac{21}{11} x^{\frac{21 - 1 \cdot 11}{11}})$

خطوة 2.1.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $11$ .

$\frac{10}{11} x^{- \frac{1}{11}} - (\frac{21}{11} x^{\frac{21 - 11}{11}})$

خطوة 2.1.3.6.2

اطرح $11$ من $21$ .

$\frac{10}{11} x^{- \frac{1}{11}} - (\frac{21}{11} x^{\frac{10}{11}})$

خطوة 2.1.3.7

اجمع $\frac{21}{11}$ و $x^{\frac{10}{11}}$ .

$\frac{10}{11} x^{- \frac{1}{11}} - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{11} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{11}}} - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 2.1.4.2

اضرب $\frac{10}{11}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{11}}}$ .

$f' (x) = \frac{10}{11 x^{\frac{1}{11}}} - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{10}{11 x^{\frac{1}{11}}} - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11}$ .

$\frac{10}{11 x^{\frac{1}{11}}} - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{10}{11 x^{\frac{1}{11}}} - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{10}{11 x^{\frac{1}{11}}} - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$11 x^{\frac{1}{11}}, 11, 1$

خطوة 3.2.2

بما أن $11 x^{\frac{1}{11}}, 11, 1$ تحتوي على أعداد ومتغيرات على حدٍّ سواء، فهناك خطوتان لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء العددي $11, 11, 1$ ثم أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء المتغير $x^{\frac{1}{11}}$ .

خطوة 3.2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 3.2.4

بما أن $11$ ليس لها عوامل بخلاف $1$ و $11$ .

$11$ هي عدد أولي

خطوة 3.2.5

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 3.2.6

المضاعف المشترك الأصغر لـ $11, 11, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$11$

خطوة 3.2.7

المضاعف المشترك الأصغر لـ $x^{\frac{1}{11}}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$x^{\frac{1}{11}}$

خطوة 3.2.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $11 x^{\frac{1}{11}}, 11, 1$ يساوي حاصل ضرب الجزء العددي $11$ في الجزء المتغير.

$11 x^{\frac{1}{11}}$

خطوة 3.3

اضرب كل حد في $\frac{10}{11 x^{\frac{1}{11}}} - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11} = 0$ في $11 x^{\frac{1}{11}}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب كل حد في $\frac{10}{11 x^{\frac{1}{11}}} - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11} = 0$ في $11 x^{\frac{1}{11}}$ .

$\frac{10}{11 x^{\frac{1}{11}}} (11 x^{\frac{1}{11}}) - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11} (11 x^{\frac{1}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$11 \frac{10}{11 x^{\frac{1}{11}}} x^{\frac{1}{11}} - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11} (11 x^{\frac{1}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$11 \frac{10}{11 x^{\frac{1}{11}}} x^{\frac{1}{11}} - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11} (11 x^{\frac{1}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{10}{x^{\frac{1}{11}}} x^{\frac{1}{11}} - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11} (11 x^{\frac{1}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{\frac{1}{11}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10}{x^{\frac{1}{11}}} x^{\frac{1}{11}} - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11} (11 x^{\frac{1}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$10 - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11} (11 x^{\frac{1}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11}$ إلى بسط الكسر.

$10 + \frac{- 21 x^{\frac{10}{11}}}{11} (11 x^{\frac{1}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.2.1.4.2

أخرِج العامل $11$ من $11 x^{\frac{1}{11}}$ .

$10 + \frac{- 21 x^{\frac{10}{11}}}{11} (11 (x^{\frac{1}{11}})) = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$10 + \frac{- 21 x^{\frac{10}{11}}}{11} (11 x^{\frac{1}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$10 - 21 x^{\frac{10}{11}} x^{\frac{1}{11}} = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.2.1.5

اضرب $x^{\frac{10}{11}}$ في $x^{\frac{1}{11}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.5.1

انقُل $x^{\frac{1}{11}}$ .

$10 - 21 (x^{\frac{1}{11}} x^{\frac{10}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.2.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$10 - 21 x^{\frac{1}{11} + \frac{10}{11}} = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.2.1.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$10 - 21 x^{\frac{1 + 10}{11}} = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.2.1.5.4

أضف $1$ و $10$ .

$10 - 21 x^{\frac{11}{11}} = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.2.1.5.5

اقسِم $11$ على $11$ .

$10 - 21 x^{1} = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.2.1.6

بسّط $- 21 x^{1}$ .

$10 - 21 x = 0 (11 x^{\frac{1}{11}})$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $0 (11 x^{\frac{1}{11}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

اضرب $11$ في $0$ .

$10 - 21 x = 0 x^{\frac{1}{11}}$

خطوة 3.3.3.1.2

اضرب $0$ في $x^{\frac{1}{11}}$ .

$10 - 21 x = 0$

خطوة 3.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اطرح $10$ من كلا المتعادلين.

$- 21 x = - 10$

خطوة 3.4.2

اقسِم كل حد في $- 21 x = - 10$ على $- 21$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اقسِم كل حد في $- 21 x = - 10$ على $- 21$ .

$\frac{- 21 x}{- 21} = \frac{- 10}{- 21}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 21 x}{- 21} = \frac{- 10}{- 21}$

خطوة 3.4.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 10}{- 21}$

خطوة 3.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x = \frac{10}{21}$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{10}{21}$ .

$\frac{10}{21}$

خطوة 5

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{10}{11 \sqrt[11]{x^{1}}} - \frac{21 x^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 5.1.2

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{10}{11 \sqrt[11]{x^{1}}} - \frac{21 \sqrt[11]{x^{10}}}{11}$

خطوة 5.1.3

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$\frac{10}{11 \sqrt[11]{x}} - \frac{21 \sqrt[11]{x^{10}}}{11}$

خطوة 5.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{10}{11 \sqrt[11]{x}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$11 \sqrt[11]{x} = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ارفع كلا المتعادلين إلى القوة $11$ .

${(11 \sqrt[11]{x})}^{11} = 0^{11}$

خطوة 5.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[11]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{11}}$ .

${(11 x^{\frac{1}{11}})}^{11} = 0^{11}$

خطوة 5.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

بسّط ${(11 x^{\frac{1}{11}})}^{11}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $11 x^{\frac{1}{11}}$ .

$11^{11} {(x^{\frac{1}{11}})}^{11} = 0^{11}$

خطوة 5.3.2.2.1.2

ارفع $11$ إلى القوة $11$ .

$285311670611 {(x^{\frac{1}{11}})}^{11} = 0^{11}$

خطوة 5.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{11}})}^{11}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$285311670611 x^{\frac{1}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

خطوة 5.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$285311670611 x^{\frac{1}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

خطوة 5.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$285311670611 x^{1} = 0^{11}$

خطوة 5.3.2.2.1.4

بسّط.

$285311670611 x = 0^{11}$

خطوة 5.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$285311670611 x = 0$

خطوة 5.3.3

اقسِم كل حد في $285311670611 x = 0$ على $285311670611$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اقسِم كل حد في $285311670611 x = 0$ على $285311670611$ .

$\frac{285311670611 x}{285311670611} = \frac{0}{285311670611}$

خطوة 5.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $285311670611$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{285311670611 x}{285311670611} = \frac{0}{285311670611}$

خطوة 5.3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{285311670611}$

خطوة 5.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

اقسِم $0$ على $285311670611$ .

$x = 0$

خطوة 6

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{10}{21}) \cup (\frac{10}{21}, \infty)$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = \frac{10}{11 {(- 1)}^{\frac{1}{11}}} - \frac{21 {(- 1)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{11}$ .

$f' (- 1) = \frac{10}{11 {({(- 1)}^{11})}^{\frac{1}{11}}} - \frac{21 {(- 1)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 7.2.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10}{11 {(- 1)}^{11 (\frac{1}{11})}} - \frac{21 {(- 1)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 7.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 1) = \frac{10}{11 {(- 1)}^{11 (\frac{1}{11})}} - \frac{21 {(- 1)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 7.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 1) = \frac{10}{11 (- 1)} - \frac{21 {(- 1)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 7.2.1.1.4

احسِب قيمة الأُس.

$f' (- 1) = \frac{10}{11 \cdot - 1} - \frac{21 {(- 1)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $11$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{10}{- 11} - \frac{21 {(- 1)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 7.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 1) = - \frac{10}{11} - \frac{21 {(- 1)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 7.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.4.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{11}$ .

$f' (- 1) = - \frac{10}{11} - \frac{21 {({(- 1)}^{11})}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 7.2.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = - \frac{10}{11} - \frac{21 {(- 1)}^{11 (\frac{10}{11})}}{11}$

خطوة 7.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 1) = - \frac{10}{11} - \frac{21 {(- 1)}^{11 (\frac{10}{11})}}{11}$

خطوة 7.2.1.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 1) = - \frac{10}{11} - \frac{21 {(- 1)}^{10}}{11}$

خطوة 7.2.1.4.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $10$ .

$f' (- 1) = - \frac{10}{11} - \frac{21 \cdot 1}{11}$

خطوة 7.2.1.5

اضرب $21$ في $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{10}{11} - \frac{21}{11}$

خطوة 7.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- 1) = \frac{- 10 - 21}{11}$

خطوة 7.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

اطرح $21$ من $- 10$ .

$f' (- 1) = \frac{- 31}{11}$

خطوة 7.2.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 1) = - \frac{31}{11}$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{31}{11}$ .

$- \frac{31}{11}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- \frac{31}{11}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \frac{10}{21})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.23809524$ في العبارة.

$f' (0.23809524) = \frac{10}{11 {(0.23809524)}^{\frac{1}{11}}} - \frac{21 {(0.23809524)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $0.23809524$ إلى القوة $\frac{1}{11}$ .

$f' (0.23809524) = \frac{10}{11 \cdot 0.87768964} - \frac{21 {(0.23809524)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $11$ في $0.87768964$ .

$f' (0.23809524) = \frac{10}{9.65458608} - \frac{21 {(0.23809524)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 8.2.1.3

اقسِم $10$ على $9.65458608$ .

$f' (0.23809524) = 1.03577718 - \frac{21 {(0.23809524)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 8.2.1.4

ارفع $0.23809524$ إلى القوة $\frac{10}{11}$ .

$f' (0.23809524) = 1.03577718 - \frac{21 \cdot 0.27127497}{11}$

خطوة 8.2.1.5

اضرب $21$ في $0.27127497$ .

$f' (0.23809524) = 1.03577718 - \frac{5.69677456}{11}$

خطوة 8.2.1.6

اقسِم $5.69677456$ على $11$ .

$f' (0.23809524) = 1.03577718 - 1 \cdot 0.51788859$

خطوة 8.2.1.7

اضرب $- 1$ في $0.51788859$ .

$f' (0.23809524) = 1.03577718 - 0.51788859$

خطوة 8.2.2

اطرح $0.51788859$ من $1.03577718$ .

$f' (0.23809524) = 0.51788858$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $0.51788858$ .

$0.51788858$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 0.23809524$ هو $0.51788858$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, \frac{10}{21})$ .

تزايد خلال $(0, \frac{10}{21})$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{10}{21}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.47619048$ في العبارة.

$f' (1.47619048) = \frac{10}{11 {(1.47619048)}^{\frac{1}{11}}} - \frac{21 {(1.47619048)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ارفع $1.47619048$ إلى القوة $\frac{1}{11}$ .

$f' (1.47619048) = \frac{10}{11 \cdot 1.03604013} - \frac{21 {(1.47619048)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $11$ في $1.03604013$ .

$f' (1.47619048) = \frac{10}{11.39644153} - \frac{21 {(1.47619048)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 9.2.1.3

اقسِم $10$ على $11.39644153$ .

$f' (1.47619048) = 0.87746688 - \frac{21 {(1.47619048)}^{\frac{10}{11}}}{11}$

خطوة 9.2.1.4

ارفع $1.47619048$ إلى القوة $\frac{10}{11}$ .

$f' (1.47619048) = 0.87746688 - \frac{21 \cdot 1.42483908}{11}$

خطوة 9.2.1.5

اضرب $21$ في $1.42483908$ .

$f' (1.47619048) = 0.87746688 - \frac{29.92162068}{11}$

خطوة 9.2.1.6

اقسِم $29.92162068$ على $11$ .

$f' (1.47619048) = 0.87746688 - 1 \cdot 2.72014733$

خطوة 9.2.1.7

اضرب $- 1$ في $2.72014733$ .

$f' (1.47619048) = 0.87746688 - 2.72014733$

خطوة 9.2.2

اطرح $2.72014733$ من $0.87746688$ .

$f' (1.47619048) = - 1.84268045$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1.84268045$ .

$- 1.84268045$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 1.47619048$ هو $- 1.84268045$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(\frac{10}{21}, \infty)$ .

تناقص خلال $(\frac{10}{21}, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 10

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, \frac{10}{21})$

تناقص خلال: $(- \infty, 0), (\frac{10}{21}, \infty)$

خطوة 11