حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{4}}{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{4}}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.4

اجمع $\frac{4}{4}$ و $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.5.2

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{3} + 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $3$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 9 (2 x)$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $2$ في $9$ .

$f' (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 18 x$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{3} + 9 x^{2} + 18 x$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 18 x$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $x^{3} + 9 x^{2} + 18 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 18 x = 0$

خطوة 3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} + 9 x^{2} + 18 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 9 x^{2} + 18 x = 0$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $9 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (9 x) + 18 x = 0$

خطوة 3.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $18 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (9 x) + x \cdot 18 = 0$

خطوة 3.2.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x (9 x)$ .

$x (x^{2} + 9 x) + x \cdot 18 = 0$

خطوة 3.2.1.5

أخرِج العامل $x$ من $x (x^{2} + 9 x) + x \cdot 18$ .

$x (x^{2} + 9 x + 18) = 0$

خطوة 3.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

حلّل $x^{2} + 9 x + 18$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $18$ ومجموعهما $9$ .

$3, 6$

خطوة 3.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$x ((x + 3) (x + 6)) = 0$

خطوة 3.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x (x + 3) (x + 6) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 6 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 3.5.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 3.6

عيّن قيمة العبارة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

عيّن قيمة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 6 = 0$

خطوة 3.6.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$x = - 6$

خطوة 3.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x + 3) (x + 6) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 3, - 6$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, - 3, - 6$ .

$0, - 3, - 6$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 6)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 7$ في العبارة.

$f' (- 7) = {(- 7)}^{3} + 9 {(- 7)}^{2} + 18 (- 7)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 7$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 7) = - 343 + 9 {(- 7)}^{2} + 18 (- 7)$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 7) = - 343 + 9 \cdot 49 + 18 (- 7)$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $9$ في $49$ .

$f' (- 7) = - 343 + 441 + 18 (- 7)$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $18$ في $- 7$ .

$f' (- 7) = - 343 + 441 - 126$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 343$ و $441$ .

$f' (- 7) = 98 - 126$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $126$ من $98$ .

$f' (- 7) = - 28$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 28$ .

$- 28$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 7$ هو $- 28$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 6)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 6)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 6, - 3)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{9}{2}$ في العبارة.

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- \frac{9}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 18 (- \frac{9}{2})$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{9}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 18 (- \frac{9}{2})$

خطوة 7.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{3} (\frac{9^{3}}{2^{3}}) + 9 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 18 (- \frac{9}{2})$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{9^{3}}{2^{3}} + 9 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 18 (- \frac{9}{2})$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $9$ إلى القوة $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{2^{3}} + 9 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 18 (- \frac{9}{2})$

خطوة 7.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + 9 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 18 (- \frac{9}{2})$

خطوة 7.2.1.5

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.5.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}) + 18 (- \frac{9}{2})$

خطوة 7.2.1.5.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})) + 18 (- \frac{9}{2})$

خطوة 7.2.1.6

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + 9 (1 (\frac{9^{2}}{2^{2}})) + 18 (- \frac{9}{2})$

خطوة 7.2.1.7

اضرب $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + 9 (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 18 (- \frac{9}{2})$

خطوة 7.2.1.8

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + 9 (\frac{81}{2^{2}}) + 18 (- \frac{9}{2})$

خطوة 7.2.1.9

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + 9 (\frac{81}{4}) + 18 (- \frac{9}{2})$

خطوة 7.2.1.10

اضرب $9 (\frac{81}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.10.1

اجمع $9$ و $\frac{81}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{9 \cdot 81}{4} + 18 (- \frac{9}{2})$

خطوة 7.2.1.10.2

اضرب $9$ في $81$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729}{4} + 18 (- \frac{9}{2})$

خطوة 7.2.1.11

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.11.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{9}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729}{4} + 18 (\frac{- 9}{2})$

خطوة 7.2.1.11.2

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729}{4} + 2 (9) (\frac{- 9}{2})$

خطوة 7.2.1.11.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729}{4} + 2 \cdot (9 (\frac{- 9}{2}))$

خطوة 7.2.1.11.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729}{4} + 9 \cdot - 9$

خطوة 7.2.1.12

اضرب $9$ في $- 9$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729}{4} - 81$

خطوة 7.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اضرب $\frac{729}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729}{4} \cdot \frac{2}{2} - 81$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $\frac{729}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 81$

خطوة 7.2.2.3

اكتب $- 81$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 81}{1}$

خطوة 7.2.2.4

اضرب $\frac{- 81}{1}$ في $\frac{8}{8}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 81}{1} \cdot \frac{8}{8}$

خطوة 7.2.2.5

اضرب $\frac{- 81}{1}$ في $\frac{8}{8}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 81 \cdot 8}{8}$

خطوة 7.2.2.6

أعِد ترتيب عوامل $4 \cdot 2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 81 \cdot 8}{8}$

خطوة 7.2.2.7

اضرب $2$ في $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{729}{8} + \frac{729 \cdot 2}{8} + \frac{- 81 \cdot 8}{8}$

خطوة 7.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 729 + 729 \cdot 2 - 81 \cdot 8}{8}$

خطوة 7.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

اضرب $729$ في $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 729 + 1458 - 81 \cdot 8}{8}$

خطوة 7.2.4.2

اضرب $- 81$ في $8$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 729 + 1458 - 648}{8}$

خطوة 7.2.5

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

أضف $- 729$ و $1458$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{729 - 648}{8}$

خطوة 7.2.5.2

اطرح $648$ من $729$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{8}$

خطوة 7.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{81}{8}$ .

$\frac{81}{8}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - \frac{9}{2}$ هو $\frac{81}{8}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 6, - 3)$ .

تزايد خلال $(- 6, - 3)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(- 3, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{3}{2}$ في العبارة.

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{3^{3}}{2^{3}} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2^{3}} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.5

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.5.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.5.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.6

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + 9 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.7

اضرب $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + 9 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.8

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + 9 (\frac{9}{2^{2}}) + 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.9

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + 9 (\frac{9}{4}) + 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.10

اضرب $9 (\frac{9}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.10.1

اجمع $9$ و $\frac{9}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{9 \cdot 9}{4} + 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.10.2

اضرب $9$ في $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81}{4} + 18 (- \frac{3}{2})$

خطوة 8.2.1.11

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.11.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81}{4} + 18 (\frac{- 3}{2})$

خطوة 8.2.1.11.2

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81}{4} + 2 (9) (\frac{- 3}{2})$

خطوة 8.2.1.11.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81}{4} + 2 \cdot (9 (\frac{- 3}{2}))$

خطوة 8.2.1.11.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81}{4} + 9 \cdot - 3$

خطوة 8.2.1.12

اضرب $9$ في $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81}{4} - 27$

خطوة 8.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اضرب $\frac{81}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81}{4} \cdot \frac{2}{2} - 27$

خطوة 8.2.2.2

اضرب $\frac{81}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 27$

خطوة 8.2.2.3

اكتب $- 27$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 27}{1}$

خطوة 8.2.2.4

اضرب $\frac{- 27}{1}$ في $\frac{8}{8}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{8}{8}$

خطوة 8.2.2.5

اضرب $\frac{- 27}{1}$ في $\frac{8}{8}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 27 \cdot 8}{8}$

خطوة 8.2.2.6

أعِد ترتيب عوامل $4 \cdot 2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 27 \cdot 8}{8}$

خطوة 8.2.2.7

اضرب $2$ في $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{8} + \frac{81 \cdot 2}{8} + \frac{- 27 \cdot 8}{8}$

خطوة 8.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 81 \cdot 2 - 27 \cdot 8}{8}$

خطوة 8.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

اضرب $81$ في $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 162 - 27 \cdot 8}{8}$

خطوة 8.2.4.2

اضرب $- 27$ في $8$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 162 - 216}{8}$

خطوة 8.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.5.1

أضف $- 27$ و $162$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{135 - 216}{8}$

خطوة 8.2.5.2

اطرح $216$ من $135$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 81}{8}$

خطوة 8.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{81}{8}$

خطوة 8.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{81}{8}$ .

$- \frac{81}{8}$

خطوة 8.3

المشتق في $x = - \frac{3}{2}$ هو $- \frac{81}{8}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 3, 0)$ .

تناقص خلال $(- 3, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} + 18 (1)$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 1 + 9 {(1)}^{2} + 18 (1)$

خطوة 9.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 1 + 9 \cdot 1 + 18 (1)$

خطوة 9.2.1.3

اضرب $9$ في $1$ .

$f' (1) = 1 + 9 + 18 (1)$

خطوة 9.2.1.4

اضرب $18$ في $1$ .

$f' (1) = 1 + 9 + 18$

خطوة 9.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أضف $1$ و $9$ .

$f' (1) = 10 + 18$

خطوة 9.2.2.2

أضف $10$ و $18$ .

$f' (1) = 28$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $28$ .

$28$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 1$ هو $28$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 10

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- 6, - 3), (0, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - 6), (- 3, 0)$

خطوة 11