حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$r = 4 \sin (θ) + 4 \cos (θ)$

خطوة 1

بما أن $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ ، استبدِل $\sin (θ)$ بـ $\frac{y}{r}$ .

$r = 4 \frac{y}{r} + 4 \cos (θ)$

خطوة 2

بما أن $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ ، استبدِل $\cos (θ)$ بـ $\frac{x}{r}$ .

$r = 4 \frac{y}{r} + 4 \frac{x}{r}$

خطوة 3

اضرب كلا الطرفين في $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا الطرفين في $r$ .

$r \cdot r = r (4 \frac{y}{r} + 4 \frac{x}{r})$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $r$ في $r$ .

$r^{2} = r (4 \frac{y}{r} + 4 \frac{x}{r})$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $r (4 \frac{y}{r} + 4 \frac{x}{r})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

اجمع $4$ و $\frac{y}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{4 y}{r} + 4 \frac{x}{r})$

خطوة 3.3.1.1.2

اجمع $4$ و $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{4 y}{r} + \frac{4 x}{r})$

خطوة 3.3.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r^{2} = r \frac{4 y}{r} + r \frac{4 x}{r}$

خطوة 3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$r^{2} = r \frac{4 y}{r} + r \frac{4 x}{r}$

خطوة 3.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$r^{2} = 4 y + r \frac{4 x}{r}$

خطوة 3.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$r^{2} = 4 y + r \frac{4 x}{r}$

خطوة 3.3.1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$r^{2} = 4 y + 4 x$

خطوة 4

بما أن $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ، استبدِل $r^{2}$ بـ $x^{2} + y^{2}$ و $r$ بـ $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 4 y + 4 x$

خطوة 5

اكتب بالصيغة القياسية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $4 y$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + y^{2} - 4 y = 4 x$

خطوة 5.1.2

اطرح $4 x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + y^{2} - 4 y - 4 x = 0$

خطوة 5.1.3

انقُل $- 4 y$ .

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0$

خطوة 5.2

أكمل المربع لـ $x^{2} - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

خطوة 5.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 5.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

خطوة 5.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 2}{1}$

خطوة 5.2.3.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$d = - 2$

خطوة 5.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ ${(- 4)}^{2}$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1.1.1

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.2.4.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.2.4.2.1.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.2.4.2.1.1.4

اضرب $4^{2}$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.2.4.2.1.1.5

أخرِج العامل $4$ من $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.2.4.2.1.1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

خطوة 5.2.4.2.1.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.2.4.2.1.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

خطوة 5.2.4.2.1.1.6.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

خطوة 5.2.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = 0 - 4$

خطوة 5.2.4.2.2

اطرح $4$ من $0$ .

$e = - 4$

خطوة 5.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

خطوة 5.3

استبدِل $x^{2} - 4 x$ بـ ${(x - 2)}^{2} - 4$ في المعادلة $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 + y^{2} - 4 y = 0$

خطوة 5.4

انقُل $- 4$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $4$ إلى كلا الطرفين.

${(x - 2)}^{2} + y^{2} - 4 y = 0 + 4$

خطوة 5.5

أكمل المربع لـ $y^{2} - 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

خطوة 5.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 5.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.5.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

خطوة 5.5.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.5.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 2}{1}$

خطوة 5.5.3.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$d = - 2$

خطوة 5.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ ${(- 4)}^{2}$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1.1.1

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.5.4.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.5.4.2.1.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.5.4.2.1.1.4

اضرب $4^{2}$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.5.4.2.1.1.5

أخرِج العامل $4$ من $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.5.4.2.1.1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

خطوة 5.5.4.2.1.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.5.4.2.1.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

خطوة 5.5.4.2.1.1.6.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

خطوة 5.5.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = 0 - 4$

خطوة 5.5.4.2.2

اطرح $4$ من $0$ .

$e = - 4$

خطوة 5.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(y - 2)}^{2} - 4$ .

${(y - 2)}^{2} - 4$

خطوة 5.6

استبدِل $y^{2} - 4 y$ بـ ${(y - 2)}^{2} - 4$ في المعادلة $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 4 = 0 + 4$

خطوة 5.7

انقُل $- 4$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $4$ إلى كلا الطرفين.

${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 0 + 4 + 4$

خطوة 5.8

بسّط $0 + 4 + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

أضف $0$ و $4$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4 + 4$

خطوة 5.8.2

أضف $4$ و $4$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$