حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{- 6}{x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{- 6}{x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{- 6}{x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

خطوة 2.1.2

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{6}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 2.1.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

خطوة 2.1.3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

خطوة 2.1.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$- 6 (- 2 x^{- 3})$

خطوة 2.1.5

اضرب $- 2$ في $- 6$ .

$12 x^{- 3}$

خطوة 2.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 2.1.6.2

اجمع $12$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{x^{3}}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{12}{x^{3}}$ .

$\frac{12}{x^{3}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{12}{x^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{12}{x^{3}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$12 = 0$

خطوة 3.3

بما أن $12 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 4

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 5

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{12}{x^{3}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{3} = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 5.2.2

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 5.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 6

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = \frac{12}{x^{3}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \frac{- 6}{x^{2}}$ هو $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = \frac{12}{{(- 1)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 1) = \frac{12}{- 1}$

خطوة 7.2.2

اقسِم $12$ على $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 12$ .

$- 12$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- 12$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = \frac{12}{{(1)}^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = \frac{12}{1}$

خطوة 8.2.2

اقسِم $12$ على $1$ .

$f' (1) = 12$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $12$ .

$12$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 1$ هو $12$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, 0)$

خطوة 10