حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \ln (x)$

خطوة 1

اكتب $x^{2} \ln (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3.2.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

خطوة 2.1.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 x \ln (x) + x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

خطوة 3.2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$2 x \ln (x) = - x$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $2 x \ln (x) = - x$ على $2 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $2 x \ln (x) = - x$ على $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 3.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 3.3.2.2.2

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 3.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 3.4

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

خطوة 3.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 3.6.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x \leq 0$

خطوة 5.2

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 6

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

خطوة 7

استبعِد الفترات غير الموجودة في النطاق.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.30326533$ في العبارة.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احذِف الأقواس.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

خطوة 8.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اضرب $2$ في $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.30326533) + 0.30326533$

خطوة 8.2.2.2

بسّط $0.60653067 \ln (0.30326533)$ بنقل $0.60653067$ داخل اللوغاريتم.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.30326533}^{0.60653067}) + 0.30326533$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $0.30326533$ إلى القوة $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.48496413) + 0.30326533$

خطوة 8.2.3

أضف $\ln (0.48496413)$ و $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = - 0.42041501$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.42041501$ .

$- 0.42041501$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 0.30326533$ هو $- 0.42041501$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

تناقص خلال $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

استبعِد الفترات غير الموجودة في النطاق.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

خطوة 10

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.60653067$ في العبارة.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

خطوة 10.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

احذِف الأقواس.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

خطوة 10.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اضرب $2$ في $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (1.60653067) + 1.60653067$

خطوة 10.2.2.2

بسّط $3.21306134 \ln (1.60653067)$ بنقل $3.21306134$ داخل اللوغاريتم.

$f' (1.60653067) = \ln ({1.60653067}^{3.21306134}) + 1.60653067$

خطوة 10.2.2.3

ارفع $1.60653067$ إلى القوة $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = \ln (4.58705612) + 1.60653067$

خطوة 10.2.3

أضف $\ln (4.58705612)$ و $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.12976912$

خطوة 10.2.4

الإجابة النهائية هي $3.12976912$ .

$3.12976912$

خطوة 10.3

المشتق في $x = 1.60653067$ هو $3.12976912$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 11

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

تناقص خلال: $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 12