حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$12 \cos^{3} (2 x)$

خطوة 1

اكتب $12 \cos^{3} (2 x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 12 \cos^{3} (2 x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 12 \cos^{3} (2 x) d x$

خطوة 4

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$12 \int \cos^{3} (2 x) d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$12 \int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 6

اجمع $\cos^{3} (u_{1})$ و $\frac{1}{2}$ .

$12 \int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$12 (\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $12$ .

$\frac{12}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6}{1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 8.2.2.4

اقسِم $6$ على $1$ .

$6 \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9

أخرِج عامل $\cos^{2} (u_{1})$ .

$6 \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 10

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cos^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$6 \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 11

لنفترض أن $u_{2} = \sin (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u_{2} = \sin (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

خطوة 11.1.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$6 \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 12

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$6 (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 13

طبّق قاعدة الثابت.

$6 (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 14

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$6 (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 15

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$6 (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

خطوة 16

بسّط.

$6 (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

خطوة 17

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (u_{1})$ .

$6 (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

خطوة 17.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$6 (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

اجمع $\sin^{3} (2 x)$ و $\frac{1}{3}$ .

$6 (\sin (2 x) - \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

خطوة 18.2

طبّق خاصية التوزيع.

$6 \sin (2 x) + 6 (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

خطوة 18.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}$ إلى بسط الكسر.

$6 \sin (2 x) + 6 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

خطوة 18.3.2

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$6 \sin (2 x) + 3 (2) \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

خطوة 18.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$6 \sin (2 x) + 3 \cdot 2 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

خطوة 18.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$6 \sin (2 x) + 2 (- \sin^{3} (2 x)) + C$

خطوة 18.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$6 \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (2 x) + C$

خطوة 19

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 12 \cos^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $6 \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (2 x) + C$