حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

خطوة 1

اكتب ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int {(x - \frac{1}{2 x})}^{2} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ بالصيغة $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ .

$\int (x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x}) d x$

خطوة 4.2

وسّع $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x (x - \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

خطوة 4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

خطوة 4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\int x^{2} + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

خطوة 4.3.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\int x^{2} - x \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

خطوة 4.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

خطوة 4.3.1.3.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

خطوة 4.3.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

خطوة 4.3.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

خطوة 4.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2 x}$ إلى بسط الكسر.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

خطوة 4.3.1.4.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

خطوة 4.3.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

خطوة 4.3.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

خطوة 4.3.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

خطوة 4.3.1.6

اضرب $- \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{2 x} \frac{1}{2 x} d x$

خطوة 4.3.1.6.2

اضرب $\frac{1}{2 x}$ في $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{2 x} d x$

خطوة 4.3.1.6.3

اضرب $\frac{1}{2 x}$ في $\frac{1}{2 x}$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x (2 x)} d x$

خطوة 4.3.1.6.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x \cdot x} d x$

خطوة 4.3.1.6.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x)} d x$

خطوة 4.3.1.6.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x^{1})} d x$

خطوة 4.3.1.6.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{1 + 1}} d x$

خطوة 4.3.1.6.8

أضف $1$ و $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

خطوة 4.3.2

اطرح $\frac{1}{2}$ من $- \frac{1}{2}$ .

$\int x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\int x^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

خطوة 4.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

خطوة 4.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int x^{2} - 1 + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{2} d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 9

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 9.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 9.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{- 2} d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} (- x^{- 1} + C)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

$\frac{1}{3} x^{3} - x + \frac{1}{4} (- x^{- 1}) + C$

خطوة 11.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{x^{- 1}}{4} + C$

خطوة 11.2.2

انقُل $x^{- 1}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$