حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4

أعِد ترتيب $1$ و $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 5

اقسِم $x^{2}$ على $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

خطوة 5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

خطوة 5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

خطوة 5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

خطوة 5.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $1$ .

$x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 9.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 10

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C$ .

$x + C - (\arctan (x) + C)$

خطوة 11

بسّط.

$x - \arctan (x) + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $x - \arctan (x) + C$