حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x^{4})}{x^{3}}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x^{4})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

خطوة 1.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

خطوة 1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x^{4})}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.4

اجمع $4$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{4}} x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.5

اجمع $\frac{4}{x^{4}}$ و $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.6

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}}{3 x^{2}}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

خطوة 5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{4}{x}$ في $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{x (3 x^{2})}$

خطوة 5.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 (x^{1} x^{2})}$

خطوة 5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 x^{1 + 2}}$

خطوة 5.4

أضف $1$ و $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 x^{3}}$

خطوة 6

انقُل الحد $\frac{4}{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 7

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{3}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot 0$

خطوة 8

اضرب $\frac{4}{3}$ في $0$ .

$0$