حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{5 x - \sin (5 x)}{5 x - \tan (5 x)}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x - \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

خطوة 1.2.2

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

خطوة 1.2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

خطوة 1.2.4

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

خطوة 1.2.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

خطوة 1.2.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

خطوة 1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1.1

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{0 - \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

خطوة 1.2.6.1.2

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

خطوة 1.2.6.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

خطوة 1.2.6.1.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

خطوة 1.2.6.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

خطوة 1.3.2

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

خطوة 1.3.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x - \tan (lim_{x \to 0} 5 x)}$

خطوة 1.3.4

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x - \tan (5 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.3.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 - \tan (5 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.3.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 - \tan (5 \cdot 0)}$

خطوة 1.3.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1.1

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (5 \cdot 0)}$

خطوة 1.3.6.1.2

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

خطوة 1.3.6.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

خطوة 1.3.6.1.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

خطوة 1.3.6.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.6.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.7

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{5 x - \sin (5 x)}{5 x - \tan (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x - \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x - \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x - \sin (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

خطوة 3.3.3

اضرب $5$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 + \frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

خطوة 3.4.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

خطوة 3.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

خطوة 3.4.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

خطوة 3.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\cos (5 x) (5 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

خطوة 3.4.5

اضرب $5$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\cos (5 x) \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

خطوة 3.4.6

انقُل $5$ إلى يسار $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (5 \cos (5 x))}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

خطوة 3.4.7

اضرب $5$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x - \tan (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]}$

خطوة 3.6

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]}$

خطوة 3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]}$

خطوة 3.6.3

اضرب $5$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 + \frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]}$

خطوة 3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \tan (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

خطوة 3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}$

خطوة 3.7.2.2

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [5 x])}$

خطوة 3.7.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}$

خطوة 3.7.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

خطوة 3.7.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1))}$

خطوة 3.7.5

اضرب $5$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\sec^{2} (5 x) \cdot 5)}$

خطوة 3.7.6

انقُل $5$ إلى يسار $\sec^{2} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (5 \sec^{2} (5 x))}$

خطوة 3.7.7

اضرب $5$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - 5 \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 4

احذِف العامل المشترك لـ $5 - 5 \cos (5 x)$ و $5 - 5 \sec^{2} (5 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1) - 5 \cos (5 x)}{5 - 5 \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 4.2

أخرِج العامل $5$ من $- 5 \cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1) + 5 (- \cos (5 x))}{5 - 5 \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 4.3

أخرِج العامل $5$ من $5 (1) + 5 (- \cos (5 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1 - \cos (5 x))}{5 - 5 \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 4.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1 - \cos (5 x))}{5 \cdot 1 - 5 \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 4.4.2

أخرِج العامل $5$ من $- 5 \sec^{2} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1 - \cos (5 x))}{5 \cdot 1 + 5 (- \sec^{2} (5 x))}$

خطوة 4.4.3

أخرِج العامل $5$ من $5 (1) + 5 (- \sec^{2} (5 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1 - \cos (5 x))}{5 (1 - \sec^{2} (5 x))}$

خطوة 4.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1 - \cos (5 x))}{5 (1 - \sec^{2} (5 x))}$

خطوة 4.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (5 x)}{1 - \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 5.1.2.1.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 5.1.2.1.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 5.1.2.1.4

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1 - \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 5.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1 - \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 5.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.3.1.1

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 5.1.2.3.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 5.1.2.3.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 5.1.2.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 5.1.3.1.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

خطوة 5.1.3.1.3

انقُل الأُس $2$ من $\sec^{2} (5 x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (5 x))}^{2}}$

خطوة 5.1.3.1.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)}$

خطوة 5.1.3.1.5

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 5.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (5 \cdot 0)}$

خطوة 5.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.3.1

أعِد ترتيب $1$ و $- \sec^{2} (5 \cdot 0)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (5 \cdot 0) + 1}$

خطوة 5.1.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sec^{2} (5 \cdot 0)$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (5 \cdot 0)) + 1}$

خطوة 5.1.3.3.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (5 \cdot 0) - 1 \cdot - 1}$

خطوة 5.1.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sec^{2} (5 \cdot 0) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (5 \cdot 0) - 1)}$

خطوة 5.1.3.3.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\frac{0}{- \tan^{2} (5 \cdot 0)}$

خطوة 5.1.3.3.6

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{0}{- \tan^{2} (0)}$

خطوة 5.1.3.3.7

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{- 0^{2}}$

خطوة 5.1.3.3.8

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{- 0}$

خطوة 5.1.3.3.9

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.1.3.3.10

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (5 x)}{1 - \sec^{2} (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \cos (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.4.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.4.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.4.5

اضرب $5$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (5 x) \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.4.6

اضرب $5$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 5 \sin (5 x))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.4.7

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.5

أضف $0$ و $5 \sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \sec^{2} (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sec^{2} (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]}$

خطوة 5.3.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sec (5 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}$

خطوة 5.3.8.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}$

خطوة 5.3.8.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}$

خطوة 5.3.8.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]))}$

خطوة 5.3.8.3.2

مشتق $\sec (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]))}$

خطوة 5.3.8.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}$

خطوة 5.3.8.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))}$

خطوة 5.3.8.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \cdot 1)))}$

خطوة 5.3.8.6

اضرب $5$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 5))}$

خطوة 5.3.8.7

انقُل $5$ إلى يسار $\sec (5 x) \tan (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (5 \cdot (\sec (5 x) \tan (5 x))))}$

خطوة 5.3.8.8

اضرب $5$ في $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (10 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x)))}$

خطوة 5.3.8.9

ارفع $\sec (5 x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (10 (\sec^{1} (5 x) \sec (5 x)) \tan (5 x))}$

خطوة 5.3.8.10

ارفع $\sec (5 x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (10 (\sec^{1} (5 x) \sec^{1} (5 x)) \tan (5 x))}$

خطوة 5.3.8.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (10 {\sec (5 x)}^{1 + 1} \tan (5 x))}$

خطوة 5.3.8.12

أضف $1$ و $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x))}$

خطوة 5.3.8.13

اضرب $10$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - 10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)}$

خطوة 5.3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.9.1

اطرح $10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)$ من $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- 10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)}$

خطوة 5.3.9.2

أعِد كتابة $\sec (5 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- 10 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \tan (5 x)}$

خطوة 5.3.9.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- 10 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}$

خطوة 5.3.9.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- 10 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}$

خطوة 5.3.9.5

اجمع $- 10$ و $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{\frac{- 10}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}$

خطوة 5.3.9.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}$

خطوة 5.3.9.7

أعِد كتابة $\tan (5 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

خطوة 5.3.9.8

اضرب $- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.9.8.1

اضرب $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ في $\frac{10}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos (5 x) \cos^{2} (5 x)}}$

خطوة 5.3.9.8.2

اضرب $\cos (5 x)$ في $\cos^{2} (5 x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.9.8.2.1

اضرب $\cos (5 x)$ في $\cos^{2} (5 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.9.8.2.1.1

ارفع $\cos (5 x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x)}}$

خطوة 5.3.9.8.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{{\cos (5 x)}^{1 + 2}}}$

خطوة 5.3.9.8.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos^{3} (5 x)}}$

خطوة 5.3.9.9

انقُل $10$ إلى يسار $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}$

خطوة 5.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x) (- \frac{\cos^{3} (5 x)}{10 \sin (5 x)})$

خطوة 5.5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$lim_{x \to 0} - 5 \sin (5 x) \frac{\cos^{3} (5 x)}{10 \sin (5 x)}$

خطوة 5.5.2

اجمع $\frac{\cos^{3} (5 x)}{10 \sin (5 x)}$ و $- 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 5}{10 \sin (5 x)} \sin (5 x)$

خطوة 5.5.3

اجمع $\frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 5}{10 \sin (5 x)}$ و $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 5 \sin (5 x)}{10 \sin (5 x)}$

خطوة 5.6

اختزِل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 5$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

أخرِج العامل $5$ من $\cos^{3} (5 x) \cdot - 5 \sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos^{3} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x))}{10 \sin (5 x)}$

خطوة 5.6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10 \sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos^{3} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x))}{5 (2 \sin (5 x))}$

خطوة 5.6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos^{3} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x))}{5 (2 \sin (5 x))}$

خطوة 5.6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x)}{2 \sin (5 x)}$

خطوة 5.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (5 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x)}{2 \sin (5 x)}$

خطوة 5.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 1}{2}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x) \cdot - 1$

خطوة 6.2

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)$

خطوة 6.3

انقُل الأُس $3$ من $\cos^{3} (5 x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3}$

خطوة 6.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)$

خطوة 6.5

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)$

خطوة 7

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (5 \cdot 0)$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cos^{3} (5 \cdot 0)$

خطوة 8.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (5 \cdot 0)$

خطوة 8.3

اضرب $5$ في $0$ .

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (0)$

خطوة 8.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

خطوة 8.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 8.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{2}$