حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$36 x^{2} + 16 y^{2} + 288 x - 192 y + 576 = 0$

خطوة 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.2

عوّض بقيم $a = 16$ و $b = - 192$ و $c = 36 x^{2} + 288 x + 576$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{192 \pm \sqrt{{(- 192)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot (36 x^{2} + 288 x + 576))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أعِد كتابة $4 \cdot 16 \cdot (36 x^{2} + 288 x + 576)$ بالصيغة ${(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{{(- 192)}^{2} - {(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = - 192$ و $b = 2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.3.1

اضرب $2$ في $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 (6 x) + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.3.3

اضرب $6$ في $8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.3.4

اضرب $8$ في $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 192) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.3.5

أضف $- 192$ و $192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(48 x + 0) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.3.6

أضف $48 x$ و $0$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.3.7

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.3.7.1

اضرب $2$ في $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (8 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.3.7.2

اضرب $8$ في $- 1$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x + 24))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x) - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.4.2

اضرب $6$ في $- 8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.4.3

اضرب $- 8$ في $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 192)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.5

اطرح $192$ من $- 192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 48 x - 384)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.6

أخرِج العامل $48$ من $- 48 x - 384$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.6.1

أخرِج العامل $48$ من $- 48 x$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) - 384)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.6.2

أخرِج العامل $48$ من $- 384$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) + 48 (- 8))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.6.3

أخرِج العامل $48$ من $48 (- x) + 48 (- 8)$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x \cdot (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.7

اضرب $48$ في $48$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{2304 x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.8

أعِد كتابة $2304 x (- x - 8)$ بالصيغة $48^{2} (x (- x - 8))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.8.1

أعِد كتابة $2304$ بالصيغة $48^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.8.2

أضف الأقواس.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} (x (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.3.2

اضرب $2$ في $16$ .

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$

خطوة 1.3.3

بسّط $\frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$ .

$y = \frac{12 \pm 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

خطوة 1.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

أعِد كتابة $4 \cdot 16 \cdot (36 x^{2} + 288 x + 576)$ بالصيغة ${(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{{(- 192)}^{2} - {(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.2

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.3.1

اضرب $2$ في $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 (6 x) + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.3.3

اضرب $6$ في $8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.3.4

اضرب $8$ في $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 192) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.3.5

أضف $- 192$ و $192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(48 x + 0) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.3.6

أضف $48 x$ و $0$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.3.7

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.3.7.1

اضرب $2$ في $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (8 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.3.7.2

اضرب $8$ في $- 1$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x + 24))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x) - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.4.2

اضرب $6$ في $- 8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.4.3

اضرب $- 8$ في $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 192)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.5

اطرح $192$ من $- 192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 48 x - 384)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.6

أخرِج العامل $48$ من $- 48 x - 384$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.6.1

أخرِج العامل $48$ من $- 48 x$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) - 384)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.6.2

أخرِج العامل $48$ من $- 384$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) + 48 (- 8))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.6.3

أخرِج العامل $48$ من $48 (- x) + 48 (- 8)$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x \cdot (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.7

اضرب $48$ في $48$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{2304 x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.8

أعِد كتابة $2304 x (- x - 8)$ بالصيغة $48^{2} (x (- x - 8))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.8.1

أعِد كتابة $2304$ بالصيغة $48^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.8.2

أضف الأقواس.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} (x (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.2

اضرب $2$ في $16$ .

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$

خطوة 1.4.3

بسّط $\frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$ .

$y = \frac{12 \pm 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

خطوة 1.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = \frac{12 + 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

خطوة 1.4.5

أخرِج العامل $3$ من $12 + 3 \sqrt{x (- x - 8)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$y = \frac{3 \cdot 4 + 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

خطوة 1.4.5.2

أخرِج العامل $3$ من $3 \cdot 4 + 3 \sqrt{x (- x - 8)}$ .

$y = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

خطوة 1.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أعِد كتابة $4 \cdot 16 \cdot (36 x^{2} + 288 x + 576)$ بالصيغة ${(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{{(- 192)}^{2} - {(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.2

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.3.1

اضرب $2$ في $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 (6 x) + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.3.3

اضرب $6$ في $8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.3.4

اضرب $8$ في $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 192) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.3.5

أضف $- 192$ و $192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(48 x + 0) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.3.6

أضف $48 x$ و $0$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.3.7

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.3.7.1

اضرب $2$ في $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (8 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.3.7.2

اضرب $8$ في $- 1$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x + 24))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x) - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.4.2

اضرب $6$ في $- 8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.4.3

اضرب $- 8$ في $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 192)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.5

اطرح $192$ من $- 192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 48 x - 384)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.6

أخرِج العامل $48$ من $- 48 x - 384$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.6.1

أخرِج العامل $48$ من $- 48 x$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) - 384)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.6.2

أخرِج العامل $48$ من $- 384$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) + 48 (- 8))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.6.3

أخرِج العامل $48$ من $48 (- x) + 48 (- 8)$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x \cdot (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.7

اضرب $48$ في $48$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{2304 x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.8

أعِد كتابة $2304 x (- x - 8)$ بالصيغة $48^{2} (x (- x - 8))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.8.1

أعِد كتابة $2304$ بالصيغة $48^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.8.2

أضف الأقواس.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} (x (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.2

اضرب $2$ في $16$ .

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$

خطوة 1.5.3

بسّط $\frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$ .

$y = \frac{12 \pm 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

خطوة 1.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = \frac{12 - 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

خطوة 1.5.5

أخرِج العامل $3$ من $12 - 3 \sqrt{x (- x - 8)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$y = \frac{3 (4) - 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

خطوة 1.5.5.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3 \sqrt{x (- x - 8)}$ .

$y = \frac{3 (4) + 3 (- \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

خطوة 1.5.5.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (4) + 3 (- \sqrt{x (- x - 8)})$ .

$y = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

خطوة 1.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

$y = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

$y = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

$y = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

خطوة 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2} \to f (x) = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

$y = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2} \to f (x) = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

خطوة 3

Because the $y$ variable in the equation $36 x^{2} + 16 y^{2} + 288 x - 192 y + 576 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (36 x^{2} + 16 y^{2} + 288 x - 192 y + 576) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $36 x^{2} + 16 y^{2} + 288 x - 192 y + 576$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

خطوة 3.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $36 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$36 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

خطوة 3.2.2.3

اضرب $2$ في $36$ .

$72 x + \frac{d}{d x} [16 y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

خطوة 3.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [16 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $16 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $16 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$72 x + 16 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$72 x + 16 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

خطوة 3.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$72 x + 16 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

خطوة 3.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$72 x + 16 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

خطوة 3.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$72 x + 16 (2 y y') + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

خطوة 3.2.3.4

اضرب $2$ في $16$ .

$72 x + 32 y y' + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

خطوة 3.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [288 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

بما أن $288$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $288 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $288 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x + 32 y y' + 288 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

خطوة 3.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$72 x + 32 y y' + 288 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

خطوة 3.2.4.3

اضرب $288$ في $1$ .

$72 x + 32 y y' + 288 + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

خطوة 3.2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 192 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

بما أن $- 192$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 192 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 192 \frac{d}{d x} [y]$ .

$72 x + 32 y y' + 288 - 192 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [576]$

خطوة 3.2.5.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$72 x + 32 y y' + 288 - 192 y' + \frac{d}{d x} [576]$

خطوة 3.2.6

بما أن $576$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $576$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$72 x + 32 y y' + 288 - 192 y' + 0$

خطوة 3.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

أضف $72 x + 32 y y' + 288 - 192 y'$ و $0$ .

$72 x + 32 y y' + 288 - 192 y'$

خطوة 3.2.7.2

أعِد ترتيب الحدود.

$32 y y' + 72 x + 288 - 192 y'$

خطوة 3.3

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 3.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$32 y y' + 72 x + 288 - 192 y' = 0$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اطرح $72 x$ من كلا المتعادلين.

$32 y y' + 288 - 192 y' = - 72 x$

خطوة 3.5.1.2

اطرح $288$ من كلا المتعادلين.

$32 y y' - 192 y' = - 72 x - 288$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $32 y'$ من $32 y y' - 192 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل $32 y'$ من $32 y y'$ .

$32 y' y - 192 y' = - 72 x - 288$

خطوة 3.5.2.2

أخرِج العامل $32 y'$ من $- 192 y'$ .

$32 y' y + 32 y' \cdot - 6 = - 72 x - 288$

خطوة 3.5.2.3

أخرِج العامل $32 y'$ من $32 y' y + 32 y' \cdot - 6$ .

$32 y' (y - 6) = - 72 x - 288$

خطوة 3.5.3

اقسِم كل حد في $32 y' (y - 6) = - 72 x - 288$ على $32 (y - 6)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اقسِم كل حد في $32 y' (y - 6) = - 72 x - 288$ على $32 (y - 6)$ .

$\frac{32 y' (y - 6)}{32 (y - 6)} = \frac{- 72 x}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{32 y' (y - 6)}{32 (y - 6)} = \frac{- 72 x}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y - 6)}{y - 6} = \frac{- 72 x}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y - 6)}{y - 6} = \frac{- 72 x}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 72 x}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 72$ و $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $8$ من $- 72 x$ .

$y' = \frac{8 (- 9 x)}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $8$ من $32 (y - 6)$ .

$y' = \frac{8 (- 9 x)}{8 (4 (y - 6))} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{8 (- 9 x)}{8 (4 (y - 6))} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 9 x}{4 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 288$ و $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.3.1

أخرِج العامل $32$ من $- 288$ .

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} + \frac{32 \cdot - 9}{32 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} + \frac{32 \cdot - 9}{32 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} + \frac{- 9}{y - 6}$

خطوة 3.5.3.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} - \frac{9}{y - 6}$

خطوة 3.5.3.3.2

لكتابة $- \frac{9}{y - 6}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} - \frac{9}{y - 6} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 3.5.3.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4 (y - 6)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.3.1

اضرب $\frac{9}{y - 6}$ في $\frac{4}{4}$ .

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} - \frac{9 \cdot 4}{(y - 6) \cdot 4}$

خطوة 3.5.3.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(y - 6) \cdot 4$ .

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} - \frac{9 \cdot 4}{4 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 9 x - 9 \cdot 4}{4 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.5.1

أخرِج العامل $9$ من $- 9 x - 9 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.5.1.1

أخرِج العامل $9$ من $- 9 x$ .

$y' = \frac{9 (- x) - 9 \cdot 4}{4 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.5.1.2

أخرِج العامل $9$ من $- 9 \cdot 4$ .

$y' = \frac{9 (- x) + 9 (- 1 \cdot 4)}{4 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.5.1.3

أخرِج العامل $9$ من $9 (- x) + 9 (- 1 \cdot 4)$ .

$y' = \frac{9 (- x - 1 \cdot 4)}{4 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.5.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y' = \frac{9 (- x - 4)}{4 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{9 (- (x) - 4)}{4 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.6.2

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{9 (- (x) - 1 (4))}{4 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (4)$ .

$y' = \frac{9 (- (x + 4))}{4 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.6.4.1

أعِد كتابة $- (x + 4)$ بالصيغة $- 1 (x + 4)$ .

$y' = \frac{9 (- 1 (x + 4))}{4 (y - 6)}$

خطوة 3.5.3.3.6.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{9 (x + 4)}{4 (y - 6)}$

خطوة 3.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 (x + 4)}{4 (y - 6)}$

خطوة 4

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{9 (x + 4)}{4 (y - 6)} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$9 (x + 4) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اقسِم كل حد في $9 (x + 4) = 0$ على $9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اقسِم كل حد في $9 (x + 4) = 0$ على $9$ .

$\frac{9 (x + 4)}{9} = \frac{0}{9}$

خطوة 4.2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 (x + 4)}{9} = \frac{0}{9}$

خطوة 4.2.1.2.1.2

اقسِم $x + 4$ على $1$ .

$x + 4 = \frac{0}{9}$

خطوة 4.2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1

اقسِم $0$ على $9$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 4.2.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 5

Solve the function $f (x) = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$ at $x = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f (- 4) = \frac{3 (4 + \sqrt{(- 4) (- (- 4) - 8)})}{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 + \sqrt{- 4 (4 - 8)})}{2}$

خطوة 5.2.1.2

اطرح $8$ من $4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 + \sqrt{- 4 \cdot - 4})}{2}$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 + \sqrt{16})}{2}$

خطوة 5.2.1.4

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 + \sqrt{4^{2}})}{2}$

خطوة 5.2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- 4) = \frac{3 (4 + 4)}{2}$

خطوة 5.2.1.6

أضف $4$ و $4$ .

$f (- 4) = \frac{3 \cdot 8}{2}$

خطوة 5.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اضرب $3$ في $8$ .

$f (- 4) = \frac{24}{2}$

خطوة 5.2.2.2

اقسِم $24$ على $2$ .

$f (- 4) = 12$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $12$ .

$12$

خطوة 6

Solve the function $f (x) = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$ at $x = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f (- 4) = \frac{3 (4 - \sqrt{(- 4) (- (- 4) - 8)})}{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 - \sqrt{- 4 (4 - 8)})}{2}$

خطوة 6.2.1.2

اطرح $8$ من $4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 - \sqrt{- 4 \cdot - 4})}{2}$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 - \sqrt{16})}{2}$

خطوة 6.2.1.4

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 - \sqrt{4^{2}})}{2}$

خطوة 6.2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- 4) = \frac{3 (4 - 1 \cdot 4)}{2}$

خطوة 6.2.1.6

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 - 4)}{2}$

خطوة 6.2.1.7

اطرح $4$ من $4$ .

$f (- 4) = \frac{3 \cdot 0}{2}$

خطوة 6.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اضرب $3$ في $0$ .

$f (- 4) = \frac{0}{2}$

خطوة 6.2.2.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (- 4) = 0$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 7

The horizontal tangent lines are $y = 12, y = 0$

$y = 12, y = 0$

خطوة 8