حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ غير معرّفة.

$- \frac{\sqrt{3}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 2

بما أن $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ من جهة اليسار و $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ من جهة اليمين، إذن $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ خط تقارب رأسي.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 3

بما أن $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ من جهة اليسار و $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ من جهة اليمين، إذن $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ خط تقارب رأسي.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 4

اسرِد جميع خطوط التقارب الرأسية:

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 5

احسِب قيمة $lim_{x \to \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.2.2.1.2

اقسِم $3$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.2.5

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.2.6

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.4.3

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - 0}}$

خطوة 5.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

اضرب $- 3$ في $0$ .

$\frac{4 + 0}{\sqrt{3 - 0}}$

خطوة 5.6.1.2

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 - 0}}$

خطوة 5.6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 + 0}}$

خطوة 5.6.2.2

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.6.3

اضرب $\frac{4}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.6.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.4.1

اضرب $\frac{4}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 5.6.4.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 5.6.4.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 5.6.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 5.6.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 5.6.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.6.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.6.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.6.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.6.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 5.6.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 6

احسِب قيمة $lim_{x \to - \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

خطوة 6.2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

خطوة 6.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

خطوة 6.2.2.1.2

اقسِم $3$ على $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

خطوة 6.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 6.2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 6.2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 6.2.5

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 6.2.6

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 6.3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 6.4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 6.4.2

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 6.4.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 6.4.4

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 6.5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

خطوة 6.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.1

اضرب $- 3$ في $0$ .

$\frac{4 + 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

خطوة 6.6.1.2

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 - 0}}$

خطوة 6.6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 + 0}}$

خطوة 6.6.2.2

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3}}$

خطوة 6.6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4}{\sqrt{3}}$

خطوة 6.6.4

اضرب $\frac{4}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

خطوة 6.6.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.5.1

اضرب $\frac{4}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 6.6.5.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 6.6.5.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 6.6.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 6.6.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 6.6.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 6.6.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 6.6.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.6.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.6.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 6.6.5.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 7

اسرِد خطوط التقارب الأفقية:

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 8

استخدِم قسمة متعددات الحدود لإيجاد خطوط التقارب المائلة. نظرًا إلى أن هذه العبارة تتضمن جذرًا، لا يمكن إجراء قسمة متعددات الحدود.

لا يمكن إيجاد خطوط تقارب مائلة

خطوة 9

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوط التقارب الأفقية: $y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

لا يمكن إيجاد خطوط تقارب مائلة

خطوة 10