حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{16 - x^{2}}$ , $y = 0$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 4}^{4} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

خطوة 2

بسّط الدالة التكاملية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{2}$ بالصيغة $(4 + x) (4 - x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ في صورة ${((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$V = (4 + x) (4 - x)$

خطوة 2.1.5

بسّط.

$V = (4 + x) (4 - x)$

خطوة 2.2

وسّع $(4 + x) (4 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$V = 4 (4 - x) + x (4 - x)$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$V = 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$V = 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اضرب $4$ في $4$ .

$V = 16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$V = 16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)$

خطوة 2.3.1.3

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)$

خطوة 2.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$V = 16 - 4 x + 4 x - x \cdot x$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

انقُل $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 x - x^{2}$

خطوة 2.3.2

أضف $- 4 x$ و $4 x$ .

$V = 16 + 0 - x^{2}$

خطوة 2.3.3

أضف $16$ و $0$ .

$V = 16 - x^{2}$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{- 4}^{4} 16 d x + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} x^{2} d x)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{4}))$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

خطوة 7.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

احسِب قيمة $16 x$ في $4$ وفي $- 4$ .

$V = π ((16 \cdot 4) - 16 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

خطوة 7.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $4$ وفي $- 4$ .

$V = π (16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

خطوة 7.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $16$ في $4$ .

$V = π (64 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $- 16$ في $- 4$ .

$V = π (64 + 64 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

خطوة 7.2.3.3

أضف $64$ و $64$ .

$V = π (128 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

خطوة 7.2.3.4

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

خطوة 7.2.3.5

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} - \frac{- 64}{3}))$

خطوة 7.2.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

خطوة 7.2.3.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{64}{3})))$

خطوة 7.2.3.8

اضرب $\frac{64}{3}$ في $1$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

خطوة 7.2.3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (128 - \frac{64 + 64}{3})$

خطوة 7.2.3.10

أضف $64$ و $64$ .

$V = π (128 - \frac{128}{3})$

خطوة 7.2.3.11

لكتابة $128$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (128 \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

خطوة 7.2.3.12

اجمع $128$ و $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{128 \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

خطوة 7.2.3.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{128 \cdot 3 - 128}{3})$

خطوة 7.2.3.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.14.1

اضرب $128$ في $3$ .

$V = π (\frac{384 - 128}{3})$

خطوة 7.2.3.14.2

اطرح $128$ من $384$ .

$V = π (\frac{256}{3})$

خطوة 7.2.3.15

اجمع $π$ و $\frac{256}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 256}{3}$

خطوة 7.2.3.16

انقُل $256$ إلى يسار $π$ .

$V = \frac{256 π}{3}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{256 π}{3}$

الصيغة العشرية:

$V = 268.08257310 \dots$

خطوة 9