حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 108$ .

$\frac{(x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 108) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 108$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 108) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 108$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.5

بما أن $108$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $108$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.5

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.3.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.3.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.3.1.2

اضرب $2$ في $108$ .

$\frac{2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.3.2.1

اطرح $2 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{216 x + 0}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.1.6.3.2.2

أضف $216 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $216$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$ .

$216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$

خطوة 2.2.2

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

خطوة 2.2.3.3

اضرب ${(x^{2} + 108)}^{2}$ في $1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 108$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 108$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 108$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 (x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

خطوة 2.2.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.2

أخرِج العامل $x^{2} + 108$ من ${(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 108$ من ${(x^{2} + 108)}^{2}$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.2.2

أخرِج العامل $x^{2} + 108$ من $- 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.2.3

أخرِج العامل $x^{2} + 108$ من $(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

خطوة 2.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أخرِج العامل $x^{2} + 108$ من ${(x^{2} + 108)}^{4}$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 108$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.9

بما أن $108$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $108$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.10.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.11

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.14

أضف $1$ و $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.15

اطرح $4 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$216 \frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.16

اجمع $216$ و $\frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ .

$\frac{216 (- 3 x^{2} + 108)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.17.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{216 (- 3 x^{2}) + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.17.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.17.2.1

اضرب $- 3$ في $216$ .

$\frac{- 648 x^{2} + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.17.2.2

اضرب $216$ في $108$ .

$\frac{- 648 x^{2} + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.17.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.17.3.1

أخرِج العامل $648$ من $- 648 x^{2} + 23328$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.17.3.1.1

أخرِج العامل $648$ من $- 648 x^{2}$ .

$\frac{648 (- x^{2}) + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.17.3.1.2

أخرِج العامل $648$ من $23328$ .

$\frac{648 (- x^{2}) + 648 (36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.17.3.1.3

أخرِج العامل $648$ من $648 (- x^{2}) + 648 (36)$ .

$\frac{648 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.17.3.2

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$\frac{648 (- x^{2} + 6^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.17.3.3

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $6^{2}$ .

$\frac{648 (6^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.2.17.3.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 6$ و $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ .

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$648 (6 + x) (6 - x) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$6 + x = 0$

$6 - x = 0$

خطوة 3.3.2

عيّن قيمة العبارة $6 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

عيّن قيمة $6 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 + x = 0$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$x = - 6$

خطوة 3.3.3

عيّن قيمة العبارة $6 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

عيّن قيمة $6 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 - x = 0$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $6 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 6$

خطوة 3.3.3.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 6$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 6$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 3.3.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 3.3.3.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 3.3.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.2.3.1

اقسِم $- 6$ على $- 1$ .

$x = 6$

خطوة 3.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $648 (6 + x) (6 - x) = 0$ صحيحة.

$x = - 6, 6$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $- 6$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{{(- 6)}^{2} + 108}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{{(- 6)}^{2} + 108}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{36 + 108}$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $36$ و $108$ .

$f (- 6) = \frac{36}{144}$

خطوة 4.1.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $144$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

أخرِج العامل $36$ من $36$ .

$f (- 6) = \frac{36 (1)}{144}$

خطوة 4.1.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.2.1

أخرِج العامل $36$ من $144$ .

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

خطوة 4.1.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

خطوة 4.1.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 6) = \frac{1}{4}$

خطوة 4.1.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 6$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ هي $(- 6, \frac{1}{4})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 6, \frac{1}{4})$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $6$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f (6) = \frac{{(6)}^{2}}{{(6)}^{2} + 108}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f (6) = \frac{36}{6^{2} + 108}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f (6) = \frac{36}{36 + 108}$

خطوة 4.3.2.2.2

أضف $36$ و $108$ .

$f (6) = \frac{36}{144}$

خطوة 4.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $144$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

أخرِج العامل $36$ من $36$ .

$f (6) = \frac{36 (1)}{144}$

خطوة 4.3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.2.1

أخرِج العامل $36$ من $144$ .

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

خطوة 4.3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

خطوة 4.3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (6) = \frac{1}{4}$

خطوة 4.3.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $6$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ هي $(6, \frac{1}{4})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(6, \frac{1}{4})$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 6)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6.1$ في العبارة.

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احذِف الأقواس.

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $6.1$ من $6$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{648 \cdot (- 0.1 (6 + 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

اضرب $648$ في $- 0.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 64.8 (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.3.2

اضرب $- 64.8$ في $6 + 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 6.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ارفع $- 6.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

خطوة 6.2.3.2

أضف $37.21$ و $108$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{145.21}^{3}}$

خطوة 6.2.3.3

ارفع $145.21$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{3061889.942761}$

خطوة 6.2.4

اقسِم $- 784.08$ على $3061889.942761$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.00025607$

خطوة 6.2.5

الإجابة النهائية هي $- 0.00025607$ .

$- 0.00025607$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 6.1$ يساوي $- 0.00025607$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 6)$

تناقص خلال $(- \infty, - 6)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 6, 6)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

احذِف الأقواس.

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 + 0)}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.1.2

ارفع $6 + 0$ إلى القوة $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.1.3

ارفع $6 + 0$ إلى القوة $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{1 + 1}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $6$ و $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 6^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 7.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0 + 108)}^{3}}$

خطوة 7.2.3.2

أضف $0$ و $108$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{108^{3}}$

خطوة 7.2.3.3

ارفع $108$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{1259712}$

خطوة 7.2.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

اضرب $648$ في $36$ .

$f'' (0) = \frac{23328}{1259712}$

خطوة 7.2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $23328$ و $1259712$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.1

أخرِج العامل $23328$ من $23328$ .

$f'' (0) = \frac{23328 (1)}{1259712}$

خطوة 7.2.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.2.1

أخرِج العامل $23328$ من $1259712$ .

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

خطوة 7.2.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

خطوة 7.2.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (0) = \frac{1}{54}$

خطوة 7.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{54}$ .

$\frac{1}{54}$

خطوة 7.3

في $0$ ، المشتق الثاني هو $0.0\overline{185}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 6, 6)$ .

تزايد خلال $(- 6, 6)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(6, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6.1$ في العبارة.

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احذِف الأقواس.

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 8.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اضرب $- 1$ في $6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 8.2.2.2

أضف $6$ و $6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{648 \cdot (12.1 (6 - 6.1))}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 8.2.2.3

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.3.1

اضرب $648$ في $12.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{7840.8 (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 8.2.2.3.2

اضرب $7840.8$ في $6 - 6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

خطوة 8.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

ارفع $6.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

خطوة 8.2.3.2

أضف $37.21$ و $108$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{145.21}^{3}}$

خطوة 8.2.3.3

ارفع $145.21$ إلى القوة $3$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{3061889.942761}$

خطوة 8.2.4

اقسِم $- 784.07999999$ على $3061889.942761$ .

$f'' (6.1) = - 0.00025607$

خطوة 8.2.5

الإجابة النهائية هي $- 0.00025607$ .

$- 0.00025607$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $6.1$ يساوي $- 0.00025607$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(6, \infty)$

تناقص خلال $(6, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$ .

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

خطوة 10