حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (4 x^{2} + 9) (2 x - 3 + \frac{7}{x})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 4 x^{2} + 9$ و $g (x) = 2 x - 3 + \frac{7}{x}$ .

$(4 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [2 x - 3 + \frac{7}{x}] + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 3 + \frac{7}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

$(4 x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

خطوة 3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

خطوة 4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

خطوة 5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{7}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 (- x^{- 2})) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

خطوة 5.4

اضرب $- 1$ في $7$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 - 7 x^{- 2}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 - 7 \frac{1}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

خطوة 6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أضف $2$ و $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 - 7 \frac{1}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

خطوة 6.2.2

اجمع $- 7$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + \frac{- 7}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

خطوة 6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$(4 x^{2} + 9) (2 - \frac{7}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 8.3

اضرب $2$ في $4$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x + 0)$

خطوة 9.2

أضف $8 x$ و $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 2 x (8 x) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

خطوة 10.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $8$ في $2$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x \cdot x - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

خطوة 10.2.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 (x^{1} x) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

خطوة 10.2.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 (x^{1} x^{1}) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

خطوة 10.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{1 + 1} - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

خطوة 10.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

خطوة 10.2.6

اضرب $8$ في $- 3$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{7}{x} (8 x)$

خطوة 10.2.7

اجمع $8$ و $\frac{7}{x}$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{8 \cdot 7}{x} x$

خطوة 10.2.8

اضرب $8$ في $7$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56}{x} x$

خطوة 10.2.9

اجمع $\frac{56}{x}$ و $x$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56 x}{x}$

خطوة 10.2.10

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56 x}{x}$

خطوة 10.2.10.2

اقسِم $56$ على $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + 56$

خطوة 10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$16 x^{2} + (- \frac{7}{x^{2}} + 2) (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

خطوة 10.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

وسّع $(- \frac{7}{x^{2}} + 2) (4 x^{2} + 9)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2} + 9) + 2 (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

خطوة 10.4.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

خطوة 10.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

خطوة 10.4.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{7}{x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

خطوة 10.4.2.1.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $4 x^{2}$ .

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} \cdot 4) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

خطوة 10.4.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} \cdot 4) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

خطوة 10.4.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$16 x^{2} - 7 \cdot 4 - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

خطوة 10.4.2.1.2

اضرب $- 7$ في $4$ .

$16 x^{2} - 28 - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

خطوة 10.4.2.1.3

اضرب $- \frac{7}{x^{2}} \cdot 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1.3.1

اضرب $9$ في $- 1$ .

$16 x^{2} - 28 - 9 \frac{7}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

خطوة 10.4.2.1.3.2

اجمع $- 9$ و $\frac{7}{x^{2}}$ .

$16 x^{2} - 28 + \frac{- 9 \cdot 7}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

خطوة 10.4.2.1.3.3

اضرب $- 9$ في $7$ .

$16 x^{2} - 28 + \frac{- 63}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

خطوة 10.4.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

خطوة 10.4.2.1.5

اضرب $4$ في $2$ .

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

خطوة 10.4.2.1.6

اضرب $2$ في $9$ .

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} + 18 - 24 x + 56$

خطوة 10.4.2.2

أضف $- 28$ و $18$ .

$16 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} - 10 - 24 x + 56$

خطوة 10.5

أضف $16 x^{2}$ و $8 x^{2}$ .

$24 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} - 10 - 24 x + 56$

خطوة 10.6

أضف $- 10$ و $56$ .

$24 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} - 24 x + 46$