حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{x (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

أضف $2 x - 2$ و $0$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.1.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.1.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.2.1

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 0 - 1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.2.2

أضف $2 x^{2} - x^{2}$ و $0$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.3

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 2.3.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 1) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = - 1, 1$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

خطوة 4.1.2.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ بالصيغة $- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ .

$- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

خطوة 4.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- (1 - 2 \cdot - 1 + 1)$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$- (1 + 2 + 1)$

خطوة 4.1.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

أضف $1$ و $2$ .

$- (3 + 1)$

خطوة 4.1.2.3.2

أضف $3$ و $1$ .

$- 1 \cdot 4$

خطوة 4.1.2.3.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$\frac{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{1}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم ${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ على $1$ .

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$

خطوة 4.2.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 2 \cdot 1 + 1$

خطوة 4.2.2.2.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$1 - 2 + 1$

خطوة 4.2.2.3

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

اطرح $2$ من $1$ .

$- 1 + 1$

خطوة 4.2.2.3.2

أضف $- 1$ و $1$ .

$0$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{0}$

خطوة 4.3.2

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(- 1, - 4), (1, 0)$

خطوة 5