حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 1}^{12} {(i - 1)}^{2}$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(i - 1)}^{2}$ بالصيغة $(i - 1) (i - 1)$ .

$(i - 1) (i - 1)$

خطوة 1.2

وسّع $(i - 1) (i - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $i$ في $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $i$ .

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$i^{2} - i - i + 1$

خطوة 1.3.2

اطرح $i$ من $- i$ .

$i^{2} - 2 i + 1$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{i = 1}^{12} i^{2} - 2 i + 1$

خطوة 2

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{i = 1}^{12} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{12} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{12} i + \sum_{i = 1}^{12} 1$

خطوة 3

احسِب قيمة $\sum_{i = 1}^{12} i^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 3.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$\frac{12 (12 + 1) (2 \cdot 12 + 1)}{6}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أخرِج العامل $6$ من $12 (12 + 1) (2 \cdot 12 + 1)$ .

$\frac{6 (2 (12 + 1) (2 \cdot 12 + 1))}{6}$

خطوة 3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$\frac{6 (2 (12 + 1) (2 \cdot 12 + 1))}{6 (1)}$

خطوة 3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 (2 (12 + 1) (2 \cdot 12 + 1))}{6 \cdot 1}$

خطوة 3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (12 + 1) (2 \cdot 12 + 1)}{1}$

خطوة 3.3.1.2.4

اقسِم $2 (12 + 1) (2 \cdot 12 + 1)$ على $1$ .

$2 (12 + 1) (2 \cdot 12 + 1)$

خطوة 3.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $12$ و $1$ .

$2 \cdot 13 (2 \cdot 12 + 1)$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $2$ في $13$ .

$26 (2 \cdot 12 + 1)$

خطوة 3.3.2.3

اضرب $2$ في $12$ .

$26 (24 + 1)$

خطوة 3.3.2.4

أضف $24$ و $1$ .

$26 \cdot 25$

خطوة 3.3.2.5

اضرب $26$ في $25$ .

$650$

خطوة 4

احسِب قيمة $2 \sum_{i = 1}^{12} i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 4.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(- 2) (\frac{12 (12 + 1)}{2})$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أضف $12$ و $1$ .

$- 2 \frac{12 \cdot 13}{2}$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $12$ في $13$ .

$- 2 (\frac{156}{2})$

خطوة 4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{156}{2}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{156}{2}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot 156$

خطوة 4.3.3

اضرب $- 1$ في $156$ .

$- 156$

خطوة 5

احسِب قيمة $\sum_{i = 1}^{12} 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$(1) (12)$

خطوة 5.3

اضرب $12$ في $1$ .

$12$

خطوة 6

أضف نتائج المجاميع.

$650 - 156 + 12$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اطرح $156$ من $650$ .

$494 + 12$

خطوة 7.2

أضف $494$ و $12$ .

$506$